Faça um esboço da região R do plano delimitada por
y=x, y=1x e x=3.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região R do plano delimitada pelas curvas
y = x, y = 1x
e pela reta vertical
x = 3
Para desenhar R, precisamos identificar onde essas curvas se encontram e como elas fecham o domínio em x.

Passo 2

Encontramos primeiro a interseção entre as curvas y=x e y=1/x. Basta resolver
x = 1x
que leva a
x^2 = 1 Longrightarrow x = pm 1

Passo 3

Como a reta x=3 fecha a região à direita e a hipérbole y=1/x só está continuada para xneq0, faz sentido escolher a parte com x>0. Assim, a interseção relevante é em
x = 1,
resultando no ponto (1,1).

Passo 4

Agora avaliamos cada curva em x=3:
– Na reta y=x o ponto é (3,3).
– Na hipérbole y=tfrac1x o ponto é (3,tfrac13).
Esses dois pontos são ligados pela reta vertical x=3, fechando a região à direita.

Passo 5

Com isso, a região R fica descrita por
R = l(x,y)mid 1 <= x <= 3,;1x <= y <= xr
No esboço, você deve:
  1. Desenhar os eixos x e y.
  2. Traçar a reta y=x e a hipérbole y=1/x.
  3. Marcar o ponto de interseção (1,1).
  4. Traçar a reta vertical x=3 ligando (3,1/3) a (3,3).
  5. Sombrear a região entre y=1/x e y=x para 1<= x<=3.

Resposta

A região R é
R=l(x,y)mid 1<= x<=3,;tfrac1x<= y<= xr,
e o esboço consiste em sombrear o setor curvilíneo entre a reta y=x, a hipérbole y=1/x e a reta vertical x=3, como descrito acima.

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