Problema 96 Decomponha em frações parciais:
3 x^2+3 x+7(x-2)^2(x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais de
3x^2+3x+7(x-2)^2l(x^2+1r)
Isso envolve um fator linear repetido (x-2)^2 e um fator quadrático irredutível (x^2+1). Vamos usar o método de frações parciais: montar um ansatz com coeficientes desconhecidos, multiplicar pelo denominador comum, e igualar coeficientes.

Passo 2

Propondo a forma
3x^2+3x+7(x-2)^2(x^2+1) =Ax-2+B(x-2)^2+Cx+Dx^2+1,
multiplicamos ambos os lados por (x-2)^2(x^2+1) para obter
3x^2+3x+7 = A(x-2)(x^2+1);+; B(x^2+1);+;(Cx+D)(x-2)^2

Passo 3

Expandindo o lado direito:
Al(x^3-2x^2+x-2r) + Bl(x^2+1r) + (Cx+D)l(x^2-4x+4r)
Somando termos semelhantes resulta em
3x^2+3x+7 = (A+C),x^3 + l(-2A+B-4C+Dr),x^2 + l(A+4C-4Dr),x + l(-2A+B+4Dr)
Igualando coeficientes a cada potência de x obtemos o sistema
A + C = 0, -2A + B -4C + D = 3, A +4C -4D = 3, -2A + B +4D = 7

Passo 4

Da primeira equação C=-A. Substituindo nas demais:
2A + B + D = 3, -3A -4D = 3, -2A + B +4D = 7
Resolvendo este sistema encontramos
A=-1, B=5, C=1, D=0

Passo 5

Substituindo A, B, C e D no ansatz, a decomposição final é
3x^2+3x+7(x-2)^2(x^2+1) =-1x-2 +5(x-2)^2 +xx^2+1

Resposta

3x^2+3x+7(x-2)^2(x^2+1) =-1x-2 +5(x-2)^2 +xx^2+1

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