Generalize o resultado do exercício 1. Mostre que se existe uma função
de classe
tal que
. (
) não muda de sinal nem é identicamente igual a zero em nenhum aberto, então não existem soluções periódicas da EDO definida por
. (Dica: Apenas use novamente o Teorema de Green tal como no exercício 1).
Passo 1
O enunciado trata de uma EDO no plano
e pede para mostrar que, se existe uma função de classe
tal que o divergente
nunca muda de sinal e não é identicamente zero em nenhum aberto,
então a EDO não pode ter órbitas periódicas. Vamos usar exatamente o mesmo truque do Teorema de Green do Exercício 1.
então a EDO não pode ter órbitas periódicas. Vamos usar exatamente o mesmo truque do Teorema de Green do Exercício 1.
Passo 2
Suponha, por contradição, que exista uma solução periódica
de período
, isto é,
com
e
.
Ela descreve uma curva fechada simples no plano. Seja a região interior limitada por
.
Ela descreve uma curva fechada simples no plano. Seja
Passo 3
Aplique o Teorema de Green à região
e ao campo vetorial
. O teorema diz
onde
é o vetor normal exterior à curva e
o comprimento de arco.
Passo 4
Mas, ao longo da curva
, o vetor
é tangente,
pois . Logo
também é tangente,
e seu produto escalar com o normal é zero:
pois
e seu produto escalar com o normal
Assim o integral de contorno desaparece:
Passo 5
Pelo Teorema de Green segue que
Por hipótese,
não muda de sinal em
e não é identicamente zero em nenhum aberto contido em
.
Então o integral duplo de uma função com sinal fixo e não nula em parte de seria estritamente não nulo,
o que contradiz o resultado acima.
Então o integral duplo de uma função com sinal fixo e não nula em parte de
o que contradiz o resultado acima.
Resposta
Não podem existir soluções periódicas da EDO quando há
tal que
não muda de sinal e não é identicamente zero em nenhum aberto.