Generalize o resultado do exercício 1. Mostre que se existe uma função rho: R^2 R de classe C^1 tal que nabla. ( rho f ) não muda de sinal nem é identicamente igual a zero em nenhum aberto, então não existem soluções periódicas da EDO definida por f. (Dica: Apenas use novamente o Teorema de Green tal como no exercício 1).

Passo 1

O enunciado trata de uma EDO no plano
dot x = f(x), fcolonR^2toR^2,
e pede para mostrar que, se existe uma função de classe C^1
rhocolonR^2toR tal que o divergente
nabla!cdot(rho f) nunca muda de sinal e não é identicamente zero em nenhum aberto,
então a EDO não pode ter órbitas periódicas. Vamos usar exatamente o mesmo truque do Teorema de Green do Exercício 1.

Passo 2

Suponha, por contradição, que exista uma solução periódica gamma de período T>0, isto é,
gammacolon[0,T]toR^2 com gamma(0)=gamma(T) e dotgamma(t)=f(gamma(t)).
Ela descreve uma curva fechada simples no plano. Seja D a região interior limitada por gamma.

Passo 3

Aplique o Teorema de Green à região D e ao campo vetorial
F(x)=rho(x),f(x). O teorema diz
ointgammaFcdot n,ds ;=;integral duplaDnabla!cdotF,dA,
onde n é o vetor normal exterior à curva e ds o comprimento de arco.

Passo 4

Mas, ao longo da curva gamma, o vetor f(gamma(t)) é tangente,
pois dotgamma=f(gamma). Logo F=rho,f também é tangente,
e seu produto escalar com o normal n é zero:
Fcdot n =rho,fcdot n =0
Assim o integral de contorno desaparece:
ointgammaFcdot n,ds ;=;0

Passo 5

Pelo Teorema de Green segue que
0 ;=;integral duplaDnabla!cdot(rho f),dA
Por hipótese, nabla!cdot(rho f) não muda de sinal em D e não é identicamente zero em nenhum aberto contido em D.
Então o integral duplo de uma função com sinal fixo e não nula em parte de D seria estritamente não nulo,
o que contradiz o resultado acima.

Resposta

Não podem existir soluções periódicas da EDO quando há rhoin C^1 tal que nabla!cdot(rho f) não muda de sinal e não é identicamente zero em nenhum aberto.

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