Seja f(x, y)=(x(3-2 x-2 y), y(2-2 x-y)). Mostre que a EDO não possui soluções periódicas no conjunto x>0 e y>0. (Dica: Use rho(x, y)=(x y)^-1 ).

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema planar
dot x = P(x,y)=xl(3-2x-2yr), dot y = Q(x,y)=yl(2-2x-yr),
e pede para mostrar que não há soluções periódicas no domínio D=(x,y)mid x>0,;y>0.
O conteúdo que vamos usar é o critério de Dulac, que fornece uma condição prática para eliminar a existência de órbitas fechadas em regiões simplesmente conexas.

Passo 2

O critério de Dulac diz o seguinte: se existe uma função tal que a divergência da campo ponderado
não muda de sinal em e não é identicamente zero, então o sistema não pode ter órbitas periódicas inteiramente contidas em .

Passo 3

Como sugerido, escolhemos
B(x,y)=rho(x,y)=1x,y,
Calculamos primeiro os produtos:
BP = 1x,y,xl(3-2x-2yr) =1y,l(3-2x-2yr),
BQ = 1x,y,yl(2-2x-yr) =1x,l(2-2x-yr)

Passo 4

Agora achamos as derivadas parciais:
partialpartial x(BP) =partialpartial xl[3-2x-2yyr] =1y,(-2) =-2y,
partialpartial y(BQ) =partialpartial yl[2-2x-yxr] =1x,(-1) =-1x
Somando, obtemos
partialpartial x(BP) +partialpartial y(BQ) =-2y-1x
No domínio x>0, y>0 esse somatório é estritamente negativo, logo não muda de sinal e não é zero.

Passo 5

Como encontramos uma função B(x,y) cuja divergência ponderada é sempre negativa em D, o critério de Dulac garante que não existem soluções periódicas inteiramente contidas no quadrante x>0,;y>0.

Resposta

O sistema não possui soluções periódicas no conjunto x>0 e y>0.

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