Seja
. Mostre que a EDO não possui soluções periódicas no conjunto
e
. (Dica: Use
).
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema planar
e pede para mostrar que não há soluções periódicas no domínio
.
O conteúdo que vamos usar é o critério de Dulac, que fornece uma condição prática para eliminar a existência de órbitas fechadas em regiões simplesmente conexas.
O conteúdo que vamos usar é o critério de Dulac, que fornece uma condição prática para eliminar a existência de órbitas fechadas em regiões simplesmente conexas.
Passo 2
O critério de Dulac diz o seguinte: se existe uma função
tal que a divergência da campo ponderado
não muda de sinal em
e não é identicamente zero, então o sistema não pode ter órbitas periódicas inteiramente contidas em
.
Passo 3
Como sugerido, escolhemos
Calculamos primeiro os produtos:
Passo 4
Agora achamos as derivadas parciais:
Somando, obtemos
No domínio
,
esse somatório é estritamente negativo, logo não muda de sinal e não é zero.
Passo 5
Como encontramos uma função
cuja divergência ponderada é sempre negativa em
, o critério de Dulac garante que não existem soluções periódicas inteiramente contidas no quadrante
.
Resposta
O sistema não possui soluções periódicas no conjunto
e
.