Problema 2 Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes, e determine quais são diagonalizáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A , e também descobrir se ela é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, características da matriz e propriedades dos autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Para isso, a gente precisa resolver a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, lambda representa os autovalores e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A .
Vamos resolver a equação cúbica lambda^3 + 2lambda^2 + lambda + 2 = 0 para encontrar os autovalores. Testando possíveis raízes inteiras, vemos que lambda = -1 é uma solução:
Então, os autovalores são lambda = -2 , lambda = i e lambda = -i .
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para lambda = -2 :
Vamos resolver (A - (-2)I)v = 0 :
A + 2I = 1 & -2 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2
Resolvendo o sistema, obtemos o autovetor v1 = 2 -1 1 (após simplificar).
Para lambda = i :
Vamos resolver (A - iI)v = 0 :
A - iI = -1 - i & -2 & 0 0 & -1 - i & 1 1 & 0 & -i
Após resolver o sistema, encontramos o autovetor v2 = 2i 1 1 .
Para lambda = -i :
Similarmente, resolvendo (A + iI)v = 0 , obtemos o autovetor v3 = -2i 1 1 .
Passo 6
Agora, vamos verificar se a matriz A é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela tem um número suficiente de autovetores linearmente independentes, equivalente ao seu tamanho.
Aqui, a matriz A tem 3 autovalores distintos ( -2 , i , e -i ), cada um com um autovetor associado. Como temos 3 autovetores distintos que são linearmente independentes, podemos afirmar que a matriz A é diagonalizável.