Problema 2 Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes, e determine quais são diagonalizáveis.
A=(ccc-1 & -2 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A , e também descobrir se ela é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, características da matriz e propriedades dos autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Para isso, a gente precisa resolver a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, lambda representa os autovalores e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = -1 - lambda & -2 & 0 0 & -1 - lambda & 1 1 & 0 & -lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda) cdot [(-1 - lambda)(-lambda) - (1)(0)] - (-2) cdot [(0)(-lambda) - (1)(1)] + 0 cdot [(0)(0) - (-1 - lambda)(1)]
Simplificando:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda) cdot (lambda(1 + lambda)) - (-2) cdot (-1)
= (-1 - lambda)(lambda + lambda^2) - 2
= -lambda - lambda^2 - lambda^2 - lambda^3 - 2
= -lambda^3 - 2lambda^2 - lambda - 2
]
Igualando a zero:
-lambda^3 - 2lambda^2 - lambda - 2 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
lambda^3 + 2lambda^2 + lambda + 2 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação cúbica lambda^3 + 2lambda^2 + lambda + 2 = 0 para encontrar os autovalores. Testando possíveis raízes inteiras, vemos que lambda = -1 é uma solução:
(-1)^3 + 2(-1)^2 + (-1) + 2 = -1 + 2 -1 + 2 = 2 neq 0
Ops, parece que não é. Vamos tentar lambda = -2 :
(-2)^3 + 2(-2)^2 + (-2) + 2 = -8 + 8 -2 + 2 = 0
Legal, lambda = -2 é um autovalor. Agora, vamos fatorar a equação:
lambda^3 + 2lambda^2 + lambda + 2 = (lambda + 2)(lambda^2 + 0lambda + 1)
Resolvendo lambda^2 + 1 = 0 :
lambda = pm i
Então, os autovalores são lambda = -2 , lambda = i e lambda = -i .

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.

Para lambda = -2 :

Vamos resolver (A - (-2)I)v = 0 :
A + 2I = 1 & -2 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2
Resolvendo o sistema, obtemos o autovetor v1 = 2 -1 1 (após simplificar).

Para lambda = i :

Vamos resolver (A - iI)v = 0 :
A - iI = -1 - i & -2 & 0 0 & -1 - i & 1 1 & 0 & -i
Após resolver o sistema, encontramos o autovetor v2 = 2i 1 1 .

Para lambda = -i :

Similarmente, resolvendo (A + iI)v = 0 , obtemos o autovetor v3 = -2i 1 1 .

Passo 6

Agora, vamos verificar se a matriz A é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela tem um número suficiente de autovetores linearmente independentes, equivalente ao seu tamanho.
Aqui, a matriz A tem 3 autovalores distintos ( -2 , i , e -i ), cada um com um autovetor associado. Como temos 3 autovetores distintos que são linearmente independentes, podemos afirmar que a matriz A é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores da matriz A são:
lambda1 = -2, lambda2 = i, lambda3 = -i
Os autovetores correspondentes são:
v1 = 2 -1 1 , v2 = 2i 1 1 , v3 = -2i 1 1
Além disso, a matriz A é diagonalizável.

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