3 - Para qualquer temperatura, a diferença entre os comprimentos de duas barras com coeficientes de dilatação linear \alpha_{1} e \alpha_{2} é a mesma. Para que está condição seja válida, a relação entre os respectivos comprimentos deve ser igual a:
a) L_{1} / L_{2}=\alpha_{2} / \alpha_{1}
b) L_{1} / L_{2}=\alpha_{1} / \alpha_{2}
c) L_{1} / L_{2}=\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) /\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)
d) L_{1} / L_{2}=\left(\alpha_{1} \alpha_{2}\right) /\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)
4 - Com relação ao fluxo estacionário de um fluido qualquer, líquido ou gás, temos as seguintes afirmações: I) A velocidade do fluido é uniforme em todos os pontos do fluido. II) As linhas de corrente coincidem com a trajetória de cada elemento infinitesimal do fluido. III) A vazão é a mesma em qualquer seção transversal de um tubo de corrente. Podemos afirmar que:
a) Somente (I) está correta.
b) Somente (II) está correta.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada enunciado pede e as informações fornecidas.
Questão 3:
  • Informação: Duas barras têm coeficientes de dilatação linear \alpha_{1} e \alpha_{2}.
  • Informação: Para qualquer temperatura (ou melhor, para qualquer variação de temperatura), a diferença entre os comprimentos das duas barras permanece a mesma (isto é, independe da temperatura).
  • Pergunta: Para que essa condição seja válida, qual deve ser a relação entre os comprimentos iniciais L_{1} e L_{2}? (Fornecem quatro alternativas.)
Questão 4:
  • Informação: Trata-se de fluxo estacionário (steady flow) de um fluido qualquer (pode ser líquido ou gás).
  • São dadas três afirmações:
    I) A velocidade do fluido é uniforme em todos os pontos do fluido.
    II) As linhas de corrente coincidem com a trajetória de cada elemento infinitesimal do fluido.
    III) A vazão é a mesma em qualquer seção transversal de um tubo de corrente.
  • Pergunta: Qual(ais) das afirmações são corretas? (As opções dadas no enunciado são: a) Somente (I) está correta. b) Somente (II) está correta.)

Passo 2

Questão 3 — entender a física da dilatação linear e escrever a equação que descreve o comprimento de cada barra após mudança de temperatura.
Conceito importante (pequena aula): dilatação linear
  • Quando uma barra de comprimento inicial L sofre uma variação de temperatura \Delta T, o aumento (ou diminuição) de comprimento para dilatações pequenas é dado por
\Delta L = \alpha \, L \, \Delta T,
onde:
  • \Delta L é o acréscimo de comprimento,
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear da substância,
  • L é o comprimento inicial (na temperatura de referência),
  • \Delta T é a variação de temperatura.
  • O comprimento final será
L(\Delta T)=L+\Delta L = L\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr).
Isso vale para cada barra com seu respectivo \alpha e comprimento inicial.

Passo 3

Aplicando a fórmula às duas barras:
Para a barra 1 (coeficiente \alpha_{1}, comprimento inicial L_{1}):
L_{1}(\Delta T)=L_{1}\bigl(1+\alpha_{1}\,\Delta T\bigr).
Para a barra 2 (coeficiente \alpha_{2}, comprimento inicial L_{2}):
L_{2}(\Delta T)=L_{2}\bigl(1+\alpha_{2}\,\Delta T\bigr).
A diferença entre os comprimentos depois da variação de temperatura é
D(\Delta T)=L_{1}(\Delta T)-L_{2}(\Delta T).

Passo 4

Calcular explicitamente D(\Delta T) e impor a condição “diferença é a mesma para qualquer temperatura” (ou seja, independe de \Delta T):
Compute:
\begin{aligned} D(\Delta T) &= L_{1}\bigl(1+\alpha_{1}\,\Delta T\bigr) - L_{2}\bigl(1+\alpha_{2}\,\Delta T\bigr)\\[4pt] &= \bigl(L_{1}-L_{2}\bigr) + \Delta T\bigl(L_{1}\alpha_{1}-L_{2}\alpha_{2}\bigr). \end{aligned}
Para que D(\Delta T) seja a mesma para qualquer \Delta T, o termo que multiplica \Delta T deve ser zero (caso contrário a diferença mudaria quando \Delta T mudar). Logo,
L_{1}\alpha_{1}-L_{2}\alpha_{2}=0.]

Passo 5

Isolar a relação procurada entre L_{1} e L_{2}:
Da condição anterior obtém-se
L_{1}\alpha_{1}=L_{2}\alpha_{2}.
Dividindo ambos os lados por L_{2}\alpha_{1} (assumindo comprimentos e coeficientes não nulos),
\frac{L_{1}}{L_{2}}=\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}.
Portanto a alternativa correta é a) \dfrac{L_{1}}{L_{2}}=\dfrac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}.
Comentário prático: intuitivamente, cada barra alongará em razão proporcional a seu comprimento e ao seu \alpha. Para que os aumentos se ajustem de modo que a diferença se mantenha fixa, os comprimentos iniciais devem compensar os coeficientes.

Passo 6

Questão 4 — vamos entender o que significa “fluxo estacionário” e as definições de linhas de corrente, trajetórias e vazão.
Conceitos básicos (mini-aula):
  • Fluxo estacionário (steady flow): as propriedades do fluxo (por exemplo, velocidade em cada ponto) não dependem do tempo. Isso quer dizer que, para cada ponto do espaço, a velocidade \vec{v}(\vec{r},t) satisfaz \partial \vec{v}/\partial t = \vec{0}, então escrevemos \vec{v}(\vec{r}).
  • Linha de corrente (streamline): curva que, em cada ponto, é tangente ao vetor velocidade \vec{v} naquele ponto e instante.
  • Trajetória (pathline): curva descrita por uma partícula de fluido ao longo do tempo (sua posição como função do tempo).
  • Tubo de corrente (streamtube): conjunto de linhas de corrente que formam uma superfície fechada; o fluido que passa por uma seção do tubo permanece dentro do tubo.
  • Vazão volumétrica (Q): integral da componente normal da velocidade sobre uma seção transversal A: Q=\int_{A}\vec{v}\cdot d\vec{A}.
  • Continuidade (conservação da massa): para fluxo estacionário e sem fontes/afluentes, o fluxo de massa é conservado. Em forma local e integral: \rho_{1}Q_{1}=\rho_{2}Q_{2}, ou seja,
\rho_{1}\int_{A_{1}}\vec{v}\cdot d\vec{A}=\rho_{2}\int_{A_{2}}\vec{v}\cdot d\vec{A}.
Para fluido incompressível ( \rho= constante), isso reduz a Q_{1}=Q_{2}.

Passo 7

Análise da afirmação I: “A velocidade do fluido é uniforme em todos os pontos do fluido.”
  • Interpretação: isso significa que \vec{v} tem o mesmo valor em todo o espaço ocupado pelo fluido.
  • Avaliação: mesmo em fluxo estacionário, a velocidade pode variar de ponto para ponto (por exemplo, perfil de velocidade em um tubo com escoamento laminar tem máximo no centro e zero na parede). A condição de fluxo estacionário exige apenas que a velocidade em cada ponto não mude com o tempo, não que seja igual em todos os pontos.
  • Conclusão: a afirmação I é falsa.

Passo 8

Análise da afirmação II: “As linhas de corrente coincidem com a trajetória de cada elemento infinitesimal do fluido.”
  • Explicação detalhada e didática: em geral, streamlines (linhas de corrente) são definidas em um dado instante como curvas que são tangentes ao campo de velocidades. Pathlines (trajetórias) dependem da história temporal do campo de velocidades: é o caminho que uma partícula segue.
  • No caso especial de fluxo estacionário, o campo de velocidade não depende do tempo ( \vec{v}(\vec{r},t)=\vec{v}(\vec{r})). Então a direção da velocidade em cada ponto é sempre a mesma ao longo do tempo. Assim, a partícula que passa por um ponto seguirá, ao longo do tempo, exatamente a curva que é tangente ao campo de velocidade — ou seja, sua trajetória coincide com a linha de corrente correspondente.
  • Conclusão: em fluxo estacionário, linhas de corrente coincidem com trajetórias de partículas infinitesimais. A afirmação II é verdadeira.

Passo 9

Análise da afirmação III: “A vazão é a mesma em qualquer seção transversal de um tubo de corrente.”
  • Explicação com a equação da continuidade: para fluxo estacionário sem fontes/afluentes dentro do tubo de corrente vale a conservação de massa. Em termos de vazão volumétrica Q e densidade \rho:
\rho_{1}Q_{1}=\rho_{2}Q_{2}.
  • Consequência: se o fluido for incompressível (tipicamente líquidos e muitos problemas de gases a baixas variações de pressão), \rho é constante e então Q_{1}=Q_{2}: a vazão volumétrica é a mesma em todas as seções do tubo de corrente.
  • Porém, o enunciado permite “fluido qualquer, líquido ou gás”. Para um gás compressível em que a densidade varia de seção para seção, a vazão volumétrica Q pode variar; o que permanece constante é a vazão mássica \dot{m}=\rho Q.
  • Portanto, a afirmação III, tal como está escrita (dizendo que a vazão é a mesma sem qualificação), não é verdadeira em geral para “qualquer fluido” — é verdadeira se o fluido for incompressível, mas pode falhar para gases compressíveis.
  • Conclusão: considerando o enunciado que inclui gases, a afirmação III não é garantidamente verdadeira em todos os casos; assim, tratamos III como falsa no contexto geral pedido.

Passo 10

Resumo das veredictos para a Questão 4:
  • I: falsa.
  • II: verdadeira.
  • III: não é garantidamente verdadeira para qualquer fluido (falsa no enunciado geral).
Logo, entre as opções fornecidas (a) Somente (I) está correta; (b) Somente (II) está correta, a correta é a opção (b).

Resposta

  1. \dfrac{L_{1}}{L_{2}}=\dfrac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}
  2. b) Somente (II) está correta.

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