3 - Para qualquer temperatura, a diferença entre os comprimentos de duas barras com coeficientes de dilatação linear
e
é a mesma. Para que está condição seja válida, a relação entre os respectivos comprimentos deve ser igual a:
a)
b)
c)
d)
4 - Com relação ao fluxo estacionário de um fluido qualquer, líquido ou gás, temos as seguintes afirmações: I) A velocidade do fluido é uniforme em todos os pontos do fluido. II) As linhas de corrente coincidem com a trajetória de cada elemento infinitesimal do fluido. III) A vazão é a mesma em qualquer seção transversal de um tubo de corrente. Podemos afirmar que:
a) Somente (I) está correta.
b) Somente (II) está correta.
a)
b)
c)
d)
a) Somente (I) está correta.
b) Somente (II) está correta.
Passo 1
Vou listar claramente o que cada enunciado pede e as informações fornecidas.
Questão 3:
- Informação: Duas barras têm coeficientes de dilatação linear
e . - Informação: Para qualquer temperatura (ou melhor, para qualquer variação de temperatura), a diferença entre os comprimentos das duas barras permanece a mesma (isto é, independe da temperatura).
- Pergunta: Para que essa condição seja válida, qual deve ser a relação entre os comprimentos iniciais
e ? (Fornecem quatro alternativas.)
Questão 4:
- Informação: Trata-se de fluxo estacionário (steady flow) de um fluido qualquer (pode ser líquido ou gás).
- São dadas três afirmações:
I) A velocidade do fluido é uniforme em todos os pontos do fluido.
II) As linhas de corrente coincidem com a trajetória de cada elemento infinitesimal do fluido.
III) A vazão é a mesma em qualquer seção transversal de um tubo de corrente. - Pergunta: Qual(ais) das afirmações são corretas? (As opções dadas no enunciado são: a) Somente (I) está correta. b) Somente (II) está correta.)
Passo 2
Questão 3 — entender a física da dilatação linear e escrever a equação que descreve o comprimento de cada barra após mudança de temperatura.
Conceito importante (pequena aula): dilatação linear
- Quando uma barra de comprimento inicial
sofre uma variação de temperatura , o aumento (ou diminuição) de comprimento para dilatações pequenas é dado por
onde:
-
é o acréscimo de comprimento, -
é o coeficiente de dilatação linear da substância, -
é o comprimento inicial (na temperatura de referência), -
é a variação de temperatura. - O comprimento final será
Isso vale para cada barra com seu respectivo
e comprimento inicial.
Passo 3
Aplicando a fórmula às duas barras:
Para a barra 1 (coeficiente
, comprimento inicial
):
Para a barra 2 (coeficiente
, comprimento inicial
):
A diferença entre os comprimentos depois da variação de temperatura é
Passo 4
Calcular explicitamente
e impor a condição “diferença é a mesma para qualquer temperatura” (ou seja, independe de
):
Compute:
Para que
seja a mesma para qualquer
, o termo que multiplica
deve ser zero (caso contrário a diferença mudaria quando
mudar). Logo,
Passo 5
Isolar a relação procurada entre
e
:
Da condição anterior obtém-se
Dividindo ambos os lados por
(assumindo comprimentos e coeficientes não nulos),
Portanto a alternativa correta é a)
.
Comentário prático: intuitivamente, cada barra alongará em razão proporcional a seu comprimento e ao seu
. Para que os aumentos se ajustem de modo que a diferença se mantenha fixa, os comprimentos iniciais devem compensar os coeficientes.
Passo 6
Questão 4 — vamos entender o que significa “fluxo estacionário” e as definições de linhas de corrente, trajetórias e vazão.
Conceitos básicos (mini-aula):
- Fluxo estacionário (steady flow): as propriedades do fluxo (por exemplo, velocidade em cada ponto) não dependem do tempo. Isso quer dizer que, para cada ponto do espaço, a velocidade
satisfaz , então escrevemos . - Linha de corrente (streamline): curva que, em cada ponto, é tangente ao vetor velocidade
naquele ponto e instante. - Trajetória (pathline): curva descrita por uma partícula de fluido ao longo do tempo (sua posição como função do tempo).
- Tubo de corrente (streamtube): conjunto de linhas de corrente que formam uma superfície fechada; o fluido que passa por uma seção do tubo permanece dentro do tubo.
- Vazão volumétrica (Q): integral da componente normal da velocidade sobre uma seção transversal
: - Continuidade (conservação da massa): para fluxo estacionário e sem fontes/afluentes, o fluxo de massa é conservado. Em forma local e integral:
, ou seja,
Para fluido incompressível (
constante), isso reduz a
.
Passo 7
Análise da afirmação I: “A velocidade do fluido é uniforme em todos os pontos do fluido.”
- Interpretação: isso significa que
tem o mesmo valor em todo o espaço ocupado pelo fluido. - Avaliação: mesmo em fluxo estacionário, a velocidade pode variar de ponto para ponto (por exemplo, perfil de velocidade em um tubo com escoamento laminar tem máximo no centro e zero na parede). A condição de fluxo estacionário exige apenas que a velocidade em cada ponto não mude com o tempo, não que seja igual em todos os pontos.
- Conclusão: a afirmação I é falsa.
Passo 8
Análise da afirmação II: “As linhas de corrente coincidem com a trajetória de cada elemento infinitesimal do fluido.”
- Explicação detalhada e didática: em geral, streamlines (linhas de corrente) são definidas em um dado instante como curvas que são tangentes ao campo de velocidades. Pathlines (trajetórias) dependem da história temporal do campo de velocidades: é o caminho que uma partícula segue.
- No caso especial de fluxo estacionário, o campo de velocidade não depende do tempo (
). Então a direção da velocidade em cada ponto é sempre a mesma ao longo do tempo. Assim, a partícula que passa por um ponto seguirá, ao longo do tempo, exatamente a curva que é tangente ao campo de velocidade — ou seja, sua trajetória coincide com a linha de corrente correspondente. - Conclusão: em fluxo estacionário, linhas de corrente coincidem com trajetórias de partículas infinitesimais. A afirmação II é verdadeira.
Passo 9
Análise da afirmação III: “A vazão é a mesma em qualquer seção transversal de um tubo de corrente.”
- Explicação com a equação da continuidade: para fluxo estacionário sem fontes/afluentes dentro do tubo de corrente vale a conservação de massa. Em termos de vazão volumétrica
e densidade :
- Consequência: se o fluido for incompressível (tipicamente líquidos e muitos problemas de gases a baixas variações de pressão),
é constante e então : a vazão volumétrica é a mesma em todas as seções do tubo de corrente. - Porém, o enunciado permite “fluido qualquer, líquido ou gás”. Para um gás compressível em que a densidade varia de seção para seção, a vazão volumétrica
pode variar; o que permanece constante é a vazão mássica . - Portanto, a afirmação III, tal como está escrita (dizendo que a vazão é a mesma sem qualificação), não é verdadeira em geral para “qualquer fluido” — é verdadeira se o fluido for incompressível, mas pode falhar para gases compressíveis.
- Conclusão: considerando o enunciado que inclui gases, a afirmação III não é garantidamente verdadeira em todos os casos; assim, tratamos III como falsa no contexto geral pedido.
Passo 10
Resumo das veredictos para a Questão 4:
- I: falsa.
- II: verdadeira.
- III: não é garantidamente verdadeira para qualquer fluido (falsa no enunciado geral).
Logo, entre as opções fornecidas (a) Somente (I) está correta; (b) Somente (II) está correta, a correta é a opção (b).
Resposta
-
-
b) Somente (II) está correta.