Problema 2 (adaptado de TAHA, pág. 25)
A Hi-V produz três tipos de sucos de frutas em lata,
, usando morangos, uvas e maçãs frescas. 0 fornecimento diário é limitado a 180 t de morangos, 190 t de uvas e 170 t de maçãs. 0 custo por tonelada de morangos, uvas e maçãs é $ 270, $ 80 e $70, respectivamente. Cada tonelada rende 590 kg de suco de morango, 640 kg de suco de uva e 510 kg de suco de maçã. A bebida A é uma mistura 1:1 de suco de morango e de maçã. A bebida
é uma mistura 1:1:2 de suco de morango, de uva e de maçã. A bebida C é uma mistura
de suco de uva e de maçã. Demandas de mercado exigem a produção de pelo menos 18 mil latas de bebida A. Todas as bebidas são acondicionadas em latas de 1 kg . 0 preço de venda por lata é
e
para as bebidas A, B e C. Escreva o modelo de PL para o problema:
A Hi-V produz três tipos de sucos de frutas em lata,
Passo 1
Vamos resumir o problema. A Hi-V produz três tipos de sucos em lata: A, B e C, utilizando morangos, uvas e maçãs. Temos limitações na quantidade dessas frutas disponíveis diariamente e custos associados a cada uma. Além disso, há exigências de mercado para a produção mínima de bebida A. Nosso objetivo é criar um modelo de Programação Linear (PL) que ajude a Hi-V a decidir quantas latas de cada bebida produzir para maximizar o lucro, respeitando todas as restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis de decisão. Essas variáveis vão representar quantas latas de cada bebida a empresa deve produzir diariamente.
- $ x_A $: Número de latas da bebida A produzidas por dia.
- $ x_B $: Número de latas da bebida B produzidas por dia.
- $ x_C $: Número de latas da bebida C produzidas por dia.
Passo 3
Agora, vamos formular a função objetivo, que é o que queremos maximizar. Neste caso, queremos maximizar o lucro total. O lucro é calculado pela diferença entre a receita obtida pela venda das bebidas e o custo dos ingredientes utilizados.
A receita de cada bebida é:
- Bebida A: $1,05 por lata.
- Bebida B: $1,00 por lata.
- Bebida C: $1,15 por lata.
O custo de cada ingrediente por tonelada:
- Morangos: $270
- Uvas: $80
- Maçãs: $70
Precisamos calcular quanto de cada fruta é usado em cada bebida e, assim, determinar o custo total.
Passo 4
Vamos calcular a quantidade de cada suco necessária para produzir uma lata de cada bebida:
-
Bebida A: mistura 1 parte de suco de morango e 1 parte de suco de maçã.
- Suco de morango por lata: $ \frac{590}{1000} $ toneladas (já que 1 tonelada rende 590 kg e cada lata é 1 kg).
- Suco de maçã por lata: $ \frac{510}{1000} $ toneladas.
-
Bebida B: mistura 1 parte de suco de morango, 1 parte de suco de uva e 2 partes de suco de maçã.
- Suco de morango por lata: $ \frac{590}{1000} $ toneladas.
- Suco de uva por lata: $ \frac{640}{1000} $ toneladas.
- Suco de maçã por lata: $ 2 \times \frac{510}{1000} $ toneladas.
-
Bebida C: mistura 2 partes de suco de uva e 3 partes de suco de maçã.
- Suco de uva por lata: $ 2 \times \frac{640}{1000} $ toneladas.
- Suco de maçã por lata: $ 3 \times \frac{510}{1000} $ toneladas.
Passo 5
Agora, vamos estabelecer as restrições de disponibilidade das frutas:
-
Morangos:
-
Uvas:
- Maçãs:
Além disso, temos a restrição de demanda mínima para a bebida A:
Passo 6
Por fim, vamos escrever o modelo completo de Programação Linear.
Resposta
Este modelo de PL define a função objetivo a ser maximizada (lucro) e as restrições de disponibilidade de morangos, uvas, maçãs, além da demanda mínima para a bebida A. As variáveis $ x_A $, $ x_B $ e $ x_C $ representam o número de latas a serem produzidas de cada bebida.