5 homens e 5 mulheres compram 10 cadeiras consecutivas na mesm. fila de um teatro. Supondo que se sentaram aleatoriamente nas 10 cadeiras, calcular:
A probabilidade de que as mulheres se sentem juntas.
A probabilidade de que as mulheres se sentem juntas.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos 5 homens e 5 mulheres sentados aleatoriamente em 10 cadeiras numa mesma fila de teatro. A gente precisa achar a probabilidade de todas as mulheres ficarem sentadinhas juntinhas.
Conteúdo: combinatória básica (permutação de elementos distintos) e noção de probabilidade (favorable / total). Vamos usar a ideia de “fazer um bloco” pras mulheres e também saber o que é factorial (n!).
Conteúdo: combinatória básica (permutação de elementos distintos) e noção de probabilidade (favorable / total). Vamos usar a ideia de “fazer um bloco” pras mulheres e também saber o que é factorial (n!).
Passo 2
Calcular o total de jeitos de sentar geral (espaços e pessoas todos considerados distintos).
Teoria: se você tem pessoas e
lugares, o número de maneiras de dispor é
, que é
.
Aqui são 10 pessoas em 10 cadeiras, então o total de arranjos é
Teoria: se você tem
Aqui são 10 pessoas em 10 cadeiras, então o total de arranjos é
Passo 3
Agora o favorável: todas as 5 mulheres juntas.
Truque do “bloco”: imagine as 5 mulheres como se fossem um único “super-objeto”. Aí, junto com os 5 homens, teremos 6 “objetos” no total.
– Esses 6 objetos podem se arrumar de jeitos.
– Mas dentro do bloco, as 5 mulheres podem se permutar entre si de maneiras.
Então o número de arranjos em que as mulheres ficam juntas é
Truque do “bloco”: imagine as 5 mulheres como se fossem um único “super-objeto”. Aí, junto com os 5 homens, teremos 6 “objetos” no total.
– Esses 6 objetos podem se arrumar de
– Mas dentro do bloco, as 5 mulheres podem se permutar entre si de
Então o número de arranjos em que as mulheres ficam juntas é
Passo 4
Agora a probabilidade é
Passo 5
Vamos simplificar:
5! = 120,
6! = 720,
10! = 3,628,800.
Então
5! = 120,
6! = 720,
10! = 3,628,800.
Então
Resposta
A probabilidade de que as 5 mulheres se sentem juntas é