5 homens e 5 mulheres compram 10 cadeiras consecutivas na mesm. fila de um teatro. Supondo que se sentaram aleatoriamente nas 10 cadeiras, calcular:
A probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas;

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que 5 homens e 5 mulheres vão se sentar aleatoriamente em 10 cadeiras seguidas. A gente precisa achar a probabilidade de que eles fiquem “homem, mulher, homem, mulher…” (alternando). Isso é um problema de probabilidade em combinatória: vamos usar permutações e fatoriais pra contar quantos jeitos existem no total e quantos desses jeitos têm essa alternância.

Passo 2

Primeiro, conta quantos arranjos totais têm 10 pessoas em 10 cadeiras. Como a ordem importa, é simplesmente
10! = 10 times 9 times 8 times cdots times 1
Esse é o número de todos os jeitos possíveis de sentar as 10 pessoas sem nenhuma restrição.

Passo 3

Agora vamos contar só os arranjos em que homens e mulheres se alternam. Existem duas formas de começar essa alternância:
  1. A primeira cadeira com um homem, depois mulher, depois homem…
  2. A primeira cadeira com uma mulher, depois homem, depois mulher…
Em cada um desses casos, você precisa escolher qual homem vai em cada posição de “homem” (são 5 cadeiras desse tipo) e qual mulher vai em cada posição de “mulher” (são 5 cadeiras desse tipo). O número de maneiras de permutar 5 homens em 5 lugares é 2 times 5! times 5! , e o mesmo para as 5 mulheres. Como há 2 padrões de alinhamento (começar por homem ou começar por mulher), o total de arranjos favoráveis é

Passo 4

A probabilidade que a gente quer é o número de arranjos favoráveis dividido pelo total de arranjos, ou seja:
P = 2 times 5! times 5!10!
Se você quiser simplificar, basta calcular os fatoriais: P = 2 times 120 times 1203,628,800 = 28,8003,628,800 = 1126 e , daí

Resposta

boxedP = 2 cdot 5! cdot 5!10! = 1126

Exercícios relacionados