5 homens e 5 mulheres compram 10 cadeiras consecutivas na mesm. fila de um teatro. Supondo que se sentaram aleatoriamente nas 10 cadeiras, calcular:
A probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas;
A probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras alternadas;
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que 5 homens e 5 mulheres vão se sentar aleatoriamente em 10 cadeiras seguidas. A gente precisa achar a probabilidade de que eles fiquem “homem, mulher, homem, mulher…” (alternando). Isso é um problema de probabilidade em combinatória: vamos usar permutações e fatoriais pra contar quantos jeitos existem no total e quantos desses jeitos têm essa alternância.
Passo 2
Primeiro, conta quantos arranjos totais têm 10 pessoas em 10 cadeiras. Como a ordem importa, é simplesmente
Esse é o número de todos os jeitos possíveis de sentar as 10 pessoas sem nenhuma restrição.
Passo 3
Agora vamos contar só os arranjos em que homens e mulheres se alternam. Existem duas formas de começar essa alternância:
- A primeira cadeira com um homem, depois mulher, depois homem…
- A primeira cadeira com uma mulher, depois homem, depois mulher…
Em cada um desses casos, você precisa escolher qual homem vai em cada posição de “homem” (são 5 cadeiras desse tipo) e qual mulher vai em cada posição de “mulher” (são 5 cadeiras desse tipo). O número de maneiras de permutar 5 homens em 5 lugares é
, e o mesmo para as 5 mulheres. Como há 2 padrões de alinhamento (começar por homem ou começar por mulher), o total de arranjos favoráveis é
Passo 4
A probabilidade que a gente quer é o número de arranjos favoráveis dividido pelo total de arranjos, ou seja:
Se você quiser simplificar, basta calcular os fatoriais:
e
, daí