Suponha que os eventos A e B são disjuntos. Sob quais condições A^c e B^c são disjuntos?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de teoria das probabilidades. A questão nos diz que os eventos $ A $ e $ B $ são disjuntos, ou seja, eles não ocorrem ao mesmo tempo. Queremos descobrir sob quais condições os complementos desses eventos, $ A^{c} $ e $ B^{c} $, também são disjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser eventos disjuntos. Dois eventos são disjuntos se não há nenhuma possibilidade de ambos ocorrerem simultaneamente. Matematicamente, isso é representado por:
A cap B = varnothing
Isso significa que a interseção entre $ A $ e $ B $ é o conjunto vazio.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o complemento de um evento. O complemento de $ A $, denotado por $ A^{c} $, é o conjunto de todos os resultados que não pertencem a $ A $. Da mesma forma, $ B^{c} $ é o complemento de $ B $.

Passo 4

Queremos saber quando $ A^{c} $ e $ B^{c} $ são disjuntos. Para isso, precisamos que a interseção entre $ A^{c} $ e $ B^{c} $ seja vazia:
A^c

Passo 5

Vamos usar as propriedades dos complementos e da união de conjuntos. Sabemos que:
A^c cap B^c = (A cup B)^c
Portanto, a interseção dos complementos é igual ao complemento da união dos conjuntos $ A $ e $ B $.

Passo 6

Para que $ (A \cup B)^{c} = \varnothing $, o complemento de $ A \cup B $ deve ser o conjunto vazio. Isso significa que:
(A cup B)^c = varnothing
Onde $ \Omega $ representa o espaço amostral, ou seja, todos os possíveis resultados.

Passo 7

Portanto, para que $ A^{c} $ e $ B^{c} $ sejam disjuntos, a união de $ A $ e $ B $ deve cobrir todo o espaço amostral. Isso só acontece se pelo menos um entre $ A $ ou $ B $ acontecer com certeza.

Resposta

Os complementos $ A^{c} $ e $ B^{c} $ são disjuntos se e somente se a união dos eventos $ A $ e $ B $ cobre todo o espaço amostral, ou seja, $ A \cup B = \Omega $.

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