Suponha que os eventos
e
são disjuntos. Sob quais condições
e
são disjuntos?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de teoria das probabilidades. A questão nos diz que os eventos $ A $ e $ B $ são disjuntos, ou seja, eles não ocorrem ao mesmo tempo. Queremos descobrir sob quais condições os complementos desses eventos, $ A^{c} $ e $ B^{c} $, também são disjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser eventos disjuntos. Dois eventos são disjuntos se não há nenhuma possibilidade de ambos ocorrerem simultaneamente. Matematicamente, isso é representado por:
Isso significa que a interseção entre $ A $ e $ B $ é o conjunto vazio.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o complemento de um evento. O complemento de $ A $, denotado por $ A^{c} $, é o conjunto de todos os resultados que não pertencem a $ A $. Da mesma forma, $ B^{c} $ é o complemento de $ B $.
Passo 4
Queremos saber quando $ A^{c} $ e $ B^{c} $ são disjuntos. Para isso, precisamos que a interseção entre $ A^{c} $ e $ B^{c} $ seja vazia:
Passo 5
Vamos usar as propriedades dos complementos e da união de conjuntos. Sabemos que:
Portanto, a interseção dos complementos é igual ao complemento da união dos conjuntos $ A $ e $ B $.
Passo 6
Para que $ (A \cup B)^{c} = \varnothing $, o complemento de $ A \cup B $ deve ser o conjunto vazio. Isso significa que:
Onde $ \Omega $ representa o espaço amostral, ou seja, todos os possíveis resultados.
Passo 7
Portanto, para que $ A^{c} $ e $ B^{c} $ sejam disjuntos, a união de $ A $ e $ B $ deve cobrir todo o espaço amostral. Isso só acontece se pelo menos um entre $ A $ ou $ B $ acontecer com certeza.
Resposta
Os complementos $ A^{c} $ e $ B^{c} $ são disjuntos se e somente se a união dos eventos $ A $ e $ B $ cobre todo o espaço amostral, ou seja, $ A \cup B = \Omega $.