Problema 5. A afirmação "se
e
, então
" é verdadeira ou falsa? Se verdadeira, a demonstre, e se falsa, dê contraexemplo.
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação "se
e
, então
" é verdadeira ou falsa.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há três conjuntos
, e . - Sabemos apenas que
e .
A tarefa é decidir se a consequênciasegue sempre dessas hipóteses; se sim, demonstrar; se não, dar um contraexemplo.
Passo 2
Explicar cuidadosamente o que significam os símbolos (isso é crucial porque muita confusão vem daqui).
- O símbolo
significa que é um elemento (ou membro) do conjunto . Exemplo: se então . - O símbolo
significa que todo elemento de é também elemento de (isto é, é subconjunto de ). Exemplo: se e então . - Esses dois conceitos são diferentes: ter um conjunto como elemento de outro (
) não é o mesmo que ser subconjunto ( ). Por exemplo, se e , então porque contém o conjunto como elemento, mas porque o elemento de não pertence a .
Observação importante: a transitividade clássica vale para
: se
e
então
. Isso às vezes leva à confusão e à tentativa (errada) de transferir essa transitividade para
.
Passo 3
Escolher o método: procurar um contraexemplo é a maneira natural quando se suspeita que uma afirmação “para todos” é falsa. Vou construir conjuntos aninhados (um dentro do outro como elemento) para mostrar que
e
podem ocorrer sem que
.
Passo 4
Construção do contraexemplo e verificação passo a passo.
Escolho
Verificações:
- Por construção, o conjunto
tem exatamente um elemento, que é . Logo . - Do mesmo modo,
tem exatamente um elemento, que é . Logo . - Agora,
contém apenas o elemento . O conjunto não aparece entre os elementos de (o único elemento de é , e ). Portanto .
Assim temos um caso concreto onde
e
são verdadeiros, mas
é falso. Isso demonstra que a afirmação geral é falsa.
Passo 5
Comentário didático final (para fixar a ideia): a razão disso é conceitual —
quer dizer que o objeto "
" (o conjunto inteiro) é um elemento de
; isso não diz nada sobre os elementos de
estarem em
. Para que os elementos de
estejam em
seria necessário algo como
(ou que cada elemento de
também seja elemento de
). Assim, é fácil confundir as duas relações; sempre verifique se a hipótese é sobre pertencimento (
) ou sobre inclusão (
).
Força aí — essa confusão é muito comum; com exemplos aninhados fica bem claro por que a propriedade não é válida no caso de
.
Resposta
Falsa. Contraexemplo:
,
,
. Então
e
mas
.