Problema 5. A afirmação "se A \in B e B \in C, então A \in C " é verdadeira ou falsa? Se verdadeira, a demonstre, e se falsa, dê contraexemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação "se A \in B e B \in C, então A \in C" é verdadeira ou falsa.
Informações dadas:
  • Há três conjuntos A, B e C.
  • Sabemos apenas que A \in B e B \in C.
    A tarefa é decidir se a consequência A \in C segue sempre dessas hipóteses; se sim, demonstrar; se não, dar um contraexemplo.

Passo 2

Explicar cuidadosamente o que significam os símbolos (isso é crucial porque muita confusão vem daqui).
  • O símbolo x \in Y significa que x é um elemento (ou membro) do conjunto Y. Exemplo: se Y=\{1,2,3\} então 1\in Y.
  • O símbolo X \subset Y significa que todo elemento de X é também elemento de Y (isto é, X é subconjunto de Y). Exemplo: se X=\{1,2\} e Y=\{1,2,3\} então X\subset Y.
  • Esses dois conceitos são diferentes: ter um conjunto como elemento de outro ( \in) não é o mesmo que ser subconjunto ( \subset). Por exemplo, se X=\{1\} e Y=\{ \{1\} \}, então X\in Y porque Y contém o conjunto \{1\} como elemento, mas X\not\subset Y porque o elemento 1 de X não pertence a Y.
Observação importante: a transitividade clássica vale para \subset: se A\subset B e B\subset C então A\subset C. Isso às vezes leva à confusão e à tentativa (errada) de transferir essa transitividade para \in.

Passo 3

Escolher o método: procurar um contraexemplo é a maneira natural quando se suspeita que uma afirmação “para todos” é falsa. Vou construir conjuntos aninhados (um dentro do outro como elemento) para mostrar que A\in B e B\in C podem ocorrer sem que A\in C.

Passo 4

Construção do contraexemplo e verificação passo a passo.
Escolho
A=\{1\}, \qquad B=\{A\}=\{\{1\}\}, \qquad C=\{B\}=\{\{\{1\}\}\}.
Verificações:
  • Por construção, o conjunto B tem exatamente um elemento, que é A. Logo A\in B.
  • Do mesmo modo, C tem exatamente um elemento, que é B. Logo B\in C.
  • Agora, C contém apenas o elemento B. O conjunto A não aparece entre os elementos de C (o único elemento de C é B, e A\neq B). Portanto A\notin C.
Assim temos um caso concreto onde A\in B e B\in C são verdadeiros, mas A\in C é falso. Isso demonstra que a afirmação geral é falsa.

Passo 5

Comentário didático final (para fixar a ideia): a razão disso é conceitual — B\in C quer dizer que o objeto " B " (o conjunto inteiro) é um elemento de C; isso não diz nada sobre os elementos de B estarem em C. Para que os elementos de B estejam em C seria necessário algo como B\subset C (ou que cada elemento de B também seja elemento de C). Assim, é fácil confundir as duas relações; sempre verifique se a hipótese é sobre pertencimento ( \in) ou sobre inclusão ( \subset).
Força aí — essa confusão é muito comum; com exemplos aninhados fica bem claro por que a propriedade não é válida no caso de \in.

Resposta

Falsa. Contraexemplo: A=\{1\}, B=\{A\}=\{\{1\}\}, C=\{B\}=\{\{\{1\}\}\}. Então A\in B e B\in C mas A\notin C.

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