Sejam \vec{F}(t)=t \vec{i}+\vec{j}+e^{t} \vec{k} e \vec{G}(t)=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}. Calcule
\int_{0}^{1}(\vec{F}(t) \cdot \vec{G}(t)) d t

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
\int_{0}^{1} \bigl(\vec F(t)\cdot \vec G(t)\bigr)\,dt
onde \vec F(t)=t\,\vec i+\vec j+e^{t}\,\vec k e \vec G(t)=\vec i+\vec j+\vec k.
O conteúdo envolve primeiro o produto escalar de vetores em \mathbb R^3 e depois a integração de uma função escalar em t.

Passo 2

Lembrando que, para \vec a=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \vec b=(b_{1},b_{2},b_{3}),
\vec a\cdot\vec b = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3},
temos aqui
\vec F(t)\cdot\vec G(t) = t\cdot1 \;+\; 1\cdot1 \;+\; e^{t}\cdot1 = t + 1 + e^{t}.

Passo 3

Agora, é só integrar termo a termo:
\int_{0}^{1} (t + 1 + e^{t})\,dt = \int_{0}^{1} t\,dt + \int_{0}^{1} 1\,dt + \int_{0}^{1} e^{t}\,dt.
Calculando cada parcela:
\int_{0}^{1} t\,dt = \Bigl[\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac12,
\int_{0}^{1} 1\,dt = [t]_{0}^{1} = 1,
\int_{0}^{1} e^{t}\,dt = [e^{t}]_{0}^{1} = e - 1.

Passo 4

Somando os resultados das três integrais:
\tfrac12 + 1 + (e - 1) = \tfrac12 + e.

Resposta

e + \tfrac12

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