Problema 6:

Um astronauta viaja a 0,95c até uma estrela a 9,5 anos-luz da Terra (medido no referencial terrestre).
a) Calcule o tempo de viagem medido pelo astronauta.
b) Explique o fenômeno da dilatação temporal nesse contexto.

Passo 1

O enunciado diz que um astronauta viaja com velocidade v = 0{,}95\,c até uma estrela que, no referencial da Terra, está a uma distância d = 9{,}5 anos-luz. O conteúdo usado será a Relatividade Restrita: tempo próprio, dilatação temporal e comprimento contraído.

Passo 2

No referencial da Terra, o tempo de viagem t é dado por
t = \frac{d}{v}
Substituindo d = 9{,}5 anos-luz e v = 0{,}95\,c,
t = \frac{9{,}5}{0{,}95}\,\text{anos} = 10\,\text{anos}.

Passo 3

Calculamos o fator de Lorentz
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \bigl(v/c\bigr)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}95)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}9025}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}0975}} \approx 3{,}20.

Passo 4

O tempo próprio t' medido pelo astronauta (ou seja, o intervalo de tempo no referencial em que ele está em repouso) é
t' = \frac{t}{\gamma} = \frac{10}{3{,}20}\,\text{anos} \approx 3{,}1\,\text{anos}.

Passo 5

A dilatação temporal diz que, para um observador que vê algo se movendo na sua frente (a Terra vendo o relógio do astronauta), esse relógio “anda mais devagar” por um fator \gamma. Inversamente, o astronauta mede um tempo próprio menor ( t'<t) porque, em seu referencial, o caminho até a estrela está encurtado (efeito equivalente de contração de comprimento) e seu relógio marca diretamente esse intervalo reduzido.

Resposta

(a) Aproximadamente 3{,}1 anos (tempo próprio).
(b) A dilatação temporal na Relatividade Restrita implica que um relógio em movimento relativo a um referencial marcado pela Terra parecerá retardado por um fator \gamma. Para o astronauta, esse efeito se manifesta como um tempo próprio t' = t/\gamma menor do que o intervalo t medido na Terra.

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