A Ruína do Jogador. Dois jogadores, A e B, têm capitais iniciais de i e N-i reais, respectivamente. Eles apostam 1 real em cada rodada de um jogo onde a probabilidade de A vencer é p e a de B vencer é q=1-p. O jogo termina quando um dos jogadores fica com capital zero.
Mostre que, se p=1 / 2, a probabilidade de o jogador A ser arruinado é 1-(i / N).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Dois jogadores A e B.
    • Capital inicial de A: i reais.
    • Capital inicial de B: N-i reais.
    • Em cada rodada apostam 1 real; se A vence ganha 1 real de B; se B vence perde 1 real.
    • Probabilidade de A vencer uma rodada: p.
    • Probabilidade de B vencer uma rodada: q=1-p.
    • O jogo termina quando algum jogador fica com capital 0 (ou seja, quando A chega a 0 ou a N).
  • Pergunta:
    • Mostrar que, no caso justo p=\tfrac{1}{2}, a probabilidade de o jogador A ser arruinado (chegar a capital 0) é 1-\frac{i}{N}.

Passo 2

Definir a incógnita e escrever a relação de recorrência por condicionamento no primeiro passo.
  • Definição: seja r_i a probabilidade de A ser arruinado (chegar a 0) quando ele começa com capital i, isto é, começando no estado i com 0\le i\le N.
  • Condições de fronteira (óbvias pelo enunciado):
    • Se i=0, A já está arruinado, então r_0=1.
    • Se i=N, A já tem todo o capital e não pode ser arruinado, então r_N=0.
  • Equação de recorrência (condicionando no resultado da primeira rodada): se 0<i<N, na próxima rodada:
    • com probabilidade p A vence e o capital passa para i+1 (a probabilidade de arruinar após isso é r_{i+1});
    • com probabilidade q A perde e o capital passa para i-1 (a probabilidade de arruinar após isso é r_{i-1}).
      Assim, pela regra da probabilidade total,
    r_i = p\,r_{i+1} + q\,r_{i-1},\qquad 0<i<N.
Explicação curta: isso significa “a probabilidade atual de arruinar é a média ponderada das probabilidades de arruinar nos estados seguintes”, ponderada pelas probabilidades do primeiro resultado.

Passo 3

Especializar para o caso p=\tfrac{1}{2} e simplificar a recorrência.
  • Para p=\tfrac{1}{2} e q=\tfrac{1}{2} a recorrência vira r_i = \tfrac{1}{2}r_{i+1} + \tfrac{1}{2}r_{i-1},\qquad 0<i<N.
  • Multiplicando por 2 e reorganizando: r_{i+1} - r_i = r_i - r_{i-1}.
Isto diz que a diferença entre termos consecutivos é a mesma para todo i. Em outras palavras, a sequência (r_i) tem segunda diferença nula, logo é uma progressão aritmética (uma função linear de i).

Passo 4

Resolver a recorrência linear simples usando a forma linear e as condições de fronteira.
  • Pela observação anterior existe constantes a e b tais que, para todo i,
    r_i = a + b i.
  • Usar as condições de fronteira para determinar a e b:
    • De r_0=1 segue a + b\cdot 0 = 1, logo a=1.
    • De r_N=0 segue 1 + b N = 0, então b = -\dfrac{1}{N}.
  • Portanto, para todo i com 0\le i\le N,
    r_i = 1 - \frac{i}{N}.
  • Interpretação rápida: quando A tem capital i, a chance de ele ser arruinado numa caminhada justa é linearmente decrescente com i; se i=0 a probabilidade é 1, se i=N é 0, e entre esses extremos é a interpolação afim.

Passo 5

Verificação rápida por outro argumento (intuição/checagem).
  • Alternativa via esperança (intuição):
    • Num jogo justo ( p=\tfrac{1}{2}) o valor esperado do capital de A não muda a cada rodada: a variação esperada é zero. Quando o jogo termina, o capital final de A vale N com probabilidade de vitória w_i e vale 0 com probabilidade de ruína r_i. Como a esperança do capital final é igual à inicial i, tem-se i = N\cdot w_i + 0\cdot r_i = N\cdot w_i.Logo w_i = \dfrac{i}{N} e então r_i = 1-w_i = 1-\dfrac{i}{N}.
    • Esse raciocínio dá a mesma fórmula de forma mais rápida e dá uma boa intuição: num jogo sem tendência, a probabilidade de atingir o limite superior é proporcional à distância inicial até o limite inferior.

Passo 6

Exemplo numérico para fixar a ideia.
  • Ex.: N=10, i=3. Pela fórmula, r_3 = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}.
Isto significa que, começando com 3 reais num jogo justo contra alguém com 7 reais, a chance de A ser arruinado é 70\%. Faz sentido: quanto menos capital inicial, maior a chance de ruína.

Resposta

1-\frac{i}{N}

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