A Ruína do Jogador. Dois jogadores,
e
, têm capitais iniciais de
e
reais, respectivamente. Eles apostam 1 real em cada rodada de um jogo onde a probabilidade de
vencer é
e a de
vencer é
. O jogo termina quando um dos jogadores fica com capital zero.
Mostre que, se
, a probabilidade de o jogador
ser arruinado é
.
Mostre que, se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Dois jogadores
e . - Capital inicial de
: reais. - Capital inicial de
: reais. - Em cada rodada apostam
real; se vence ganha real de ; se vence perde real. - Probabilidade de
vencer uma rodada: . - Probabilidade de
vencer uma rodada: . - O jogo termina quando algum jogador fica com capital
(ou seja, quando chega a ou a ).
- Dois jogadores
-
Pergunta:
- Mostrar que, no caso justo
, a probabilidade de o jogador ser arruinado (chegar a capital ) é
- Mostrar que, no caso justo
Passo 2
Definir a incógnita e escrever a relação de recorrência por condicionamento no primeiro passo.
-
Definição: seja
a probabilidade de ser arruinado (chegar a ) quando ele começa com capital , isto é, começando no estado com . -
Condições de fronteira (óbvias pelo enunciado):
- Se
, já está arruinado, então - Se
, já tem todo o capital e não pode ser arruinado, então
- Se
-
Equação de recorrência (condicionando no resultado da primeira rodada): se
, na próxima rodada: - com probabilidade
vence e o capital passa para (a probabilidade de arruinar após isso é ); - com probabilidade
perde e o capital passa para (a probabilidade de arruinar após isso é ).
Assim, pela regra da probabilidade total,
- com probabilidade
Explicação curta: isso significa “a probabilidade atual de arruinar é a média ponderada das probabilidades de arruinar nos estados seguintes”, ponderada pelas probabilidades do primeiro resultado.
Passo 3
Especializar para o caso
e simplificar a recorrência.
- Para
e a recorrência vira - Multiplicando por
e reorganizando:
Isto diz que a diferença entre termos consecutivos é a mesma para todo
. Em outras palavras, a sequência
tem segunda diferença nula, logo é uma progressão aritmética (uma função linear de
).
Passo 4
Resolver a recorrência linear simples usando a forma linear e as condições de fronteira.
-
Pela observação anterior existe constantes
e tais que, para todo , -
Usar as condições de fronteira para determinar
e : - De
segue , logo . - De
segue , então .
- De
-
Portanto, para todo
com , -
Interpretação rápida: quando
tem capital , a chance de ele ser arruinado numa caminhada justa é linearmente decrescente com ; se a probabilidade é , se é , e entre esses extremos é a interpolação afim.
Passo 5
Verificação rápida por outro argumento (intuição/checagem).
- Alternativa via esperança (intuição):
- Num jogo justo (
) o valor esperado do capital de não muda a cada rodada: a variação esperada é zero. Quando o jogo termina, o capital final de vale com probabilidade de vitória e vale com probabilidade de ruína . Como a esperança do capital final é igual à inicial , tem-se Logo e então . - Esse raciocínio dá a mesma fórmula de forma mais rápida e dá uma boa intuição: num jogo sem tendência, a probabilidade de atingir o limite superior é proporcional à distância inicial até o limite inferior.
- Num jogo justo (
Passo 6
Exemplo numérico para fixar a ideia.
- Ex.:
, . Pela fórmula,
Isto significa que, começando com
reais num jogo justo contra alguém com
reais, a chance de
ser arruinado é
. Faz sentido: quanto menos capital inicial, maior a chance de ruína.