Problema 2
Uma barata de massa
encontra-se sobre a borda de um disco de massa
que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a
e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular
. A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco.
(a) Mostre que o momento de inércia do disco em questão é igual a
.
(b) Qual é o momento angular inicial do sistema barata-disco?
(c) Qual é a nova velocidade angular do sistema, após a caminhada da barata?
(d) Qual é a razão K/Ko entre a nova energia cinética do sistema e a sua energia cinética inicial?
(e) O que é responsável por essa variação na energia cinética?
Dado:
(a) Mostre que o momento de inércia do disco em questão é igual a
(b) Qual é o momento angular inicial do sistema barata-disco?
(c) Qual é a nova velocidade angular do sistema, após a caminhada da barata?
(d) Qual é a razão K/Ko entre a nova energia cinética do sistema e a sua energia cinética inicial?
(e) O que é responsável por essa variação na energia cinética?
Passo 1
O enunciado pede as partes (a)–(e) para um sistema formado por um disco e uma barata. Vou listar claramente o que é dado e o que se precisa encontrar:
-
Dados fornecidos:
- massa da barata:
. - massa do disco:
. - raio do disco:
. - distribuição de massa do disco: uniforme.
- inicialmente a barata está na borda do disco (distância
do centro) e o sistema gira com velocidade angular . - depois a barata caminha até metade da distância ao centro, isto é, até
. - foi fornecida a integral
para uso, se necessário.
- massa da barata:
-
O que o enunciado pergunta:
(a) Mostrar que o momento de inércia do disco vale.
(b) Calcular o momento angular inicial do sistema barata+disco.
(c) Determinar a nova velocidade angular do sistema depois que a barata vai para.
(d) Calcular a razãoentre a nova energia cinética do sistema e sua energia cinética inicial.
(e) Explicar o que é responsável pela variação da energia cinética.
Passo 2
(a) Cálculo do momento de inércia do disco (mostrando passo a passo usando integração).
Conceito rápido: o momento de inércia de um corpo é a soma (integral) de
vezes a massa elemento
sobre todo o corpo. Para um disco fino e uniforme, é conveniente somar anéis concêntricos de raio
e espessura
.
- Densidade superficial do disco (massa por unidade de área): seja
a massa do disco; aqui . A área do disco é . Logo a densidade superficial é
- Considere um anel de raio
e espessura . A área desse anel é . A massa do anel é
- O momento de inércia do anel (todo o anel a distância
do centro) é . Substituindo:
- Integrar de
até :
Usando a integral dada
, obtemos
- Substituindo
:
Portanto mostramos que o momento de inércia do disco é
.
Passo 3
(b) Momento angular inicial do sistema.
Conceitos usados: momento de inércia total de um sistema rígido é a soma dos momentos de inércia das partes (quando calculados em torno do mesmo eixo). Momento angular
é
.
- Momento de inércia do disco (já calculado):
- Momento de inércia da barata (tratada como massa pontual na borda a raio
): - Momento de inércia total inicial:
- Momento angular inicial:
Passo 4
(c) Nova velocidade angular após a barata andar até
.
Princípio usado: se não há torque externo sobre o sistema (disco+barata), o momento angular total é conservado. Aqui o eixo passa pelo centro do disco e não há torques externos (o conjunto gira livremente), então
é constante.
- Momento de inércia da barata na nova posição (raio
):
- Momento de inércia total final:
- Conservação do momento angular:
. Então
Portanto a nova velocidade angular é
.
Passo 5
(d) Razão
entre a nova energia cinética e a inicial.
Conceito: energia cinética de rotação é
.
- Energia cinética inicial:
- Energia cinética final:
Calculemos passo a passo:
então
Os fatores
cancelam e
, ficando
- Agora a razão:
Logo
. Também podemos notar que a energia aumentou; a variação absoluta é
que é
.
Passo 6
(e) Explicação física do que causa a variação da energia cinética (de forma didática e intuitiva).
-
Conservação do momento angular impede a presença de torque externo que altere
; por isso quando a barata aproxima-se do eixo (reduz o momento de inércia total), a velocidade angular do sistema aumenta para manter constante. Esse aumento de implica aumento da energia cinética rotacional porque não é invariante sob mudança interna de mesmo com fixo. -
De onde vem a energia adicional? Ela vem do trabalho realizado pela própria barata (energia química proveniente de seus músculos) ao deslocar-se sobre o disco. Ao caminhar para dentro, a barata precisa aplicar forças tangenciais/ radiais que, via forças de atrito entre barata e disco, realizam trabalho sobre o sistema. Em termos de referencia rotativa, há forças não-inerciais (por exemplo, força de Coriolis) que a barata precisa vencer; na referência inercial, a força de atrito entre barata e disco transfere energia entre a barata e o disco. Assim a energia cinética aumenta porque a barata gastou energia interna que foi convertida em energia cinética de rotação do conjunto (parte pode também dissipar-se se houver atrito dissipativo).
-
Resumindo: variação da energia cinética é causada pelo trabalho realizado internamente pela barata (forças de atrito internas entre barata e disco), e não por algum torque externo.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) A variação de energia cinética provém do trabalho realizado pela barata (energia química convertida via forças de atrito internas), que aumenta quando a barata se aproxima do eixo; não há torque externo, então
é conservado.
(b)
(c)
(d)
(e) A variação de energia cinética provém do trabalho realizado pela barata (energia química convertida via forças de atrito internas), que aumenta