Problema 2

Uma barata de massa m encontra-se sobre a borda de um disco de massa 4 m que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a r e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular \omega_{0}. A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco.
(a) Mostre que o momento de inércia do disco em questão é igual a 2 m r^{2}.
(b) Qual é o momento angular inicial do sistema barata-disco?
(c) Qual é a nova velocidade angular do sistema, após a caminhada da barata?
(d) Qual é a razão K/Ko entre a nova energia cinética do sistema e a sua energia cinética inicial?
(e) O que é responsável por essa variação na energia cinética?

Dado:

\int_{0}^{a} x^{n} d x=a^{n+1} /(n+1)

Passo 1

O enunciado pede as partes (a)–(e) para um sistema formado por um disco e uma barata. Vou listar claramente o que é dado e o que se precisa encontrar:
  • Dados fornecidos:
    • massa da barata: \,m.
    • massa do disco: \,4m.
    • raio do disco: \,r.
    • distribuição de massa do disco: uniforme.
    • inicialmente a barata está na borda do disco (distância r do centro) e o sistema gira com velocidade angular \,\omega_{0}.
    • depois a barata caminha até metade da distância ao centro, isto é, até r/2.
    • foi fornecida a integral \displaystyle \int_{0}^{a} x^{n} dx = a^{n+1}/(n+1) para uso, se necessário.
  • O que o enunciado pergunta:
    (a) Mostrar que o momento de inércia do disco vale \,2 m r^{2}.
    (b) Calcular o momento angular inicial do sistema barata+disco.
    (c) Determinar a nova velocidade angular do sistema depois que a barata vai para r/2.
    (d) Calcular a razão K/K_{0} entre a nova energia cinética do sistema e sua energia cinética inicial.
    (e) Explicar o que é responsável pela variação da energia cinética.

Passo 2

(a) Cálculo do momento de inércia do disco (mostrando passo a passo usando integração).
Conceito rápido: o momento de inércia de um corpo é a soma (integral) de r^{2} vezes a massa elemento dm sobre todo o corpo. Para um disco fino e uniforme, é conveniente somar anéis concêntricos de raio x e espessura dx.
  • Densidade superficial do disco (massa por unidade de área): seja M a massa do disco; aqui M=4m. A área do disco é \pi r^{2}. Logo a densidade superficial é
\sigma = \frac{M}{\pi r^{2}} = \frac{4m}{\pi r^{2}}.
  • Considere um anel de raio x e espessura dx. A área desse anel é dA = 2\pi x\,dx. A massa do anel é
dm = \sigma\,dA = \sigma\cdot 2\pi x\,dx.
  • O momento de inércia do anel (todo o anel a distância x do centro) é dI = x^{2} dm. Substituindo:
dI = x^{2}\big(\sigma\cdot 2\pi x\,dx\big) = 2\pi\sigma\, x^{3} dx.
  • Integrar de x=0 até x=r:
I_{\text{disco}} = \int_{0}^{r} 2\pi\sigma\, x^{3} dx = 2\pi\sigma \int_{0}^{r} x^{3} dx.
Usando a integral dada \int_{0}^{r} x^{3} dx = r^{4}/4, obtemos
I_{\text{disco}} = 2\pi\sigma \cdot \frac{r^{4}}{4} = \frac{\pi\sigma r^{4}}{2}.
  • Substituindo \sigma = \dfrac{4m}{\pi r^{2}}:
I_{\text{disco}} = \frac{\pi}{2}\cdot \frac{4m}{\pi r^{2}} \cdot r^{4} = \frac{1}{2}\cdot 4m \cdot r^{2} = 2 m r^{2}.
Portanto mostramos que o momento de inércia do disco é \,2 m r^{2}.

Passo 3

(b) Momento angular inicial do sistema.
Conceitos usados: momento de inércia total de um sistema rígido é a soma dos momentos de inércia das partes (quando calculados em torno do mesmo eixo). Momento angular L é L = I \omega.
  • Momento de inércia do disco (já calculado): \,I_{\text{disco}} = 2 m r^{2}.
  • Momento de inércia da barata (tratada como massa pontual na borda a raio r): \,I_{\text{barata, inicial}} = m r^{2}.
  • Momento de inércia total inicial:
I_{0} = I_{\text{disco}} + I_{\text{barata, inicial}} = 2 m r^{2} + m r^{2} = 3 m r^{2}.
  • Momento angular inicial:
L_{0} = I_{0}\,\omega_{0} = 3 m r^{2}\,\omega_{0}.

Passo 4

(c) Nova velocidade angular após a barata andar até r/2.
Princípio usado: se não há torque externo sobre o sistema (disco+barata), o momento angular total é conservado. Aqui o eixo passa pelo centro do disco e não há torques externos (o conjunto gira livremente), então L é constante.
  • Momento de inércia da barata na nova posição (raio r/2):
I_{\text{barata, final}} = m\left(\frac{r}{2}\right)^{2} = m\frac{r^{2}}{4}.
  • Momento de inércia total final:
I_{f} = I_{\text{disco}} + I_{\text{barata, final}} = 2 m r^{2} + \frac{m r^{2}}{4} = \frac{9}{4} m r^{2}.
  • Conservação do momento angular: L_{0} = I_{f}\,\omega_{f}. Então
\omega_{f} = \frac{L_{0}}{I_{f}} = \frac{3 m r^{2}\,\omega_{0}}{(9/4) m r^{2}} = \frac{3}{9/4}\,\omega_{0} = \frac{4}{3}\,\omega_{0}.
Portanto a nova velocidade angular é \,\omega_{f} = \dfrac{4}{3}\,\omega_{0}.

Passo 5

(d) Razão K/K_{0} entre a nova energia cinética e a inicial.
Conceito: energia cinética de rotação é \displaystyle K=\tfrac{1}{2} I \omega^{2}.
  • Energia cinética inicial:
K_{0} = \frac{1}{2} I_{0} \omega_{0}^{2} = \frac{1}{2}\cdot 3 m r^{2}\cdot \omega_{0}^{2} = \frac{3}{2}\, m r^{2} \omega_{0}^{2}.
  • Energia cinética final:
K_{f} = \frac{1}{2} I_{f} \omega_{f}^{2} = \frac{1}{2}\cdot \frac{9}{4} m r^{2}\cdot \left(\frac{4}{3}\omega_{0}\right)^{2}.
Calculemos passo a passo:
\left(\frac{4}{3}\omega_{0}\right)^{2} = \frac{16}{9}\omega_{0}^{2},
então
K_{f} = \frac{1}{2}\cdot \frac{9}{4} m r^{2}\cdot \frac{16}{9}\omega_{0}^{2} = \frac{1}{2}\cdot m r^{2}\cdot \frac{9}{4}\cdot \frac{16}{9}\, \omega_{0}^{2}.
Os fatores \,9 cancelam e \,16/4=4, ficando
K_{f} = \frac{1}{2}\cdot m r^{2}\cdot 4\,\omega_{0}^{2} = 2\, m r^{2}\, \omega_{0}^{2}.
  • Agora a razão:
\frac{K_{f}}{K_{0}} = \frac{2\, m r^{2}\, \omega_{0}^{2}}{\tfrac{3}{2}\, m r^{2}\, \omega_{0}^{2}} = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3}.
Logo \,K/K_{0} = 4/3. Também podemos notar que a energia aumentou; a variação absoluta é
\Delta K = K_{f}-K_{0} = \left(2 - \tfrac{3}{2}\right) m r^{2}\omega_{0}^{2} = \tfrac{1}{2} m r^{2}\omega_{0}^{2},
que é \tfrac{1}{3}K_{0}.

Passo 6

(e) Explicação física do que causa a variação da energia cinética (de forma didática e intuitiva).
  • Conservação do momento angular impede a presença de torque externo que altere L; por isso quando a barata aproxima-se do eixo (reduz o momento de inércia total), a velocidade angular do sistema aumenta para manter L constante. Esse aumento de \omega implica aumento da energia cinética rotacional porque K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2} não é invariante sob mudança interna de I mesmo com L fixo.
  • De onde vem a energia adicional? Ela vem do trabalho realizado pela própria barata (energia química proveniente de seus músculos) ao deslocar-se sobre o disco. Ao caminhar para dentro, a barata precisa aplicar forças tangenciais/ radiais que, via forças de atrito entre barata e disco, realizam trabalho sobre o sistema. Em termos de referencia rotativa, há forças não-inerciais (por exemplo, força de Coriolis) que a barata precisa vencer; na referência inercial, a força de atrito entre barata e disco transfere energia entre a barata e o disco. Assim a energia cinética aumenta porque a barata gastou energia interna que foi convertida em energia cinética de rotação do conjunto (parte pode também dissipar-se se houver atrito dissipativo).
  • Resumindo: variação da energia cinética é causada pelo trabalho realizado internamente pela barata (forças de atrito internas entre barata e disco), e não por algum torque externo.

Resposta

(a) I_{\text{disco}}=2 m r^{2}.
(b) L_{0}=3 m r^{2}\,\omega_{0}.
(c) \omega_{f}=\dfrac{4}{3}\,\omega_{0}.
(d) \dfrac{K}{K_{0}}=\dfrac{4}{3}.
(e) A variação de energia cinética provém do trabalho realizado pela barata (energia química convertida via forças de atrito internas), que aumenta K quando a barata se aproxima do eixo; não há torque externo, então L é conservado.

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