Problema 6 : Em cada caso, encontre a transformada de Laplace:
Le^3 t t^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função $ e^{3t} t^{4} $. A matéria que estamos trabalhando aqui é Transformadas de Laplace, e para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da transformada de Laplace para funções do tipo $ e^{at} t^{n} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para uma função que é o produto de uma exponencial e uma potência de $ t $. A fórmula é:
t
Aqui, $ a $ é a constante na exponencial, $ n $ é o expoente de $ t $, e $ s $ é a variável da transformada de Laplace.

Passo 3

No nosso caso, a função que queremos transformar é $ e^{3t} t^{4} $. Vamos identificar os valores de $ a $ e $ n $:
  • $ a = 3 $
  • $ n = 4 $

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula que vimos:

Passo 5

Calculando o fatorial de 4:
4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24
Então, a expressão fica:
L e^3t t^4 = 24(s - 3)^5

Resposta

A transformada de Laplace de $ e^{3t} t^{4} $ é:
e^3t t^4

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