Problema 6 : Em cada caso, encontre a transformada de Laplace:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função $ e^{3t} t^{4} $. A matéria que estamos trabalhando aqui é Transformadas de Laplace, e para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da transformada de Laplace para funções do tipo $ e^{at} t^{n} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para uma função que é o produto de uma exponencial e uma potência de $ t $. A fórmula é:
Aqui, $ a $ é a constante na exponencial, $ n $ é o expoente de $ t $, e $ s $ é a variável da transformada de Laplace.
Passo 3
No nosso caso, a função que queremos transformar é $ e^{3t} t^{4} $. Vamos identificar os valores de $ a $ e $ n $:
- $ a = 3 $
- $ n = 4 $
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula que vimos:
Passo 5
Calculando o fatorial de 4:
Então, a expressão fica:
Resposta
A transformada de Laplace de $ e^{3t} t^{4} $ é: