PROBLEMA: Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva, por inspeção, a forma geral da resposta ao degrau:
G(s)=\frac{400}{s^{2}+12 s+400}

Passo 1

O enunciado pede a forma geral da resposta ao degrau de
G(s)=\frac{400}{s^{2}+12s+400}
Esse é um sistema de segunda ordem. Para escrever a resposta ao degrau por inspeção, vamos usar a forma padrão
G(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}
e depois aplicar a fórmula conhecida da resposta ao degrau de sistemas subamortecidos.

Passo 2

Comparando
s^{2}+12s+400 \quad\text{com}\quad s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}
vemos que
\omega_{n}^{2}=400 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{n}=20
e
2\zeta\omega_{n}=12 \quad\Longrightarrow\quad \zeta=\frac{12}{2\cdot20}=0{,}3
Como \zeta<1, o sistema é subamortecido.

Passo 3

Para um sistema subamortecido com ganho estático K=\lim_{s\to0}G(s)=1, a resposta ao degrau unitário é
y(t)=K\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}e^{-\zeta\omega_{n}t}\sin\bigl(\omega_{d}t+\varphi\bigr)\Bigr)
onde
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}} \quad\text{e}\quad \varphi=\operatorname{arccos}(\zeta)

Passo 4

Substituindo \omega_{n}=20 e \zeta=0{,}3 obtemos
\omega_{d}=20\sqrt{1-0{,}3^{2}}=20\sqrt{0{,}91}\approx19{,}08 \quad,\quad \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}3)\approx1{,}266\text{ rad}
e K=1. Portanto a forma final é
y(t)=1-\frac{e^{-0{,}3\cdot20\,t}}{\sqrt{1-0{,}3^{2}}}\,\sin\bigl(19{,}08\,t+1{,}266\bigr)

Resposta

y(t)=1-\frac{e^{-6t}}{\sqrt{1-0{,}3^{2}}}\,\sin\bigl(19{,}08\,t+1{,}266\bigr)

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