PROBLEMA: Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva, por inspeção, a forma geral da resposta ao degrau:
G(s)=\frac{900}{s^{2}+90 s+900}

Passo 1

O enunciado pede a forma geral da resposta ao degrau unitário de um sistema de segunda ordem cuja função de transferência é
G(s)=\frac{900}{s^{2}+90\,s+900}\,.
Estamos no tópico de resposta transitória de sistemas de segunda ordem e vamos usar a forma canônica do denominador para identificar a frequência natural \omega_{n}, o fator de amortecimento \zeta e, como veremos, o caso de amortecimento ou sobreamortecimento.

Passo 2

Escrevemos o denominador em forma padrão
s^{2}+90\,s+900 = s^{2} + 2\,\zeta\,\omega_{n}\,s + \omega_{n}^{2}\,.
Comparando termo a termo, temos
\omega_{n}^{2}=900\quad\Longrightarrow\quad \omega_{n}=30,
2\,\zeta\,\omega_{n}=90\quad\Longrightarrow\quad 2\,\zeta\,(30)=90\quad\Longrightarrow\quad \zeta=1{,}5.

Passo 3

Como \zeta=1{,}5>1, o sistema é sobreamortecido. Nesse caso, a resposta ao degrau unitário c(t) é a soma de dois decaimentos exponenciais que converge para o valor de regime permanente igual ao ganho em s=0, isto é, G(0)=900/900=1. A forma geral para um sistema sobreamortecido é
c(t)=1 - A\,e^{s_{1}t} - B\,e^{s_{2}t},
onde s_{1} e s_{2} são as raízes reais do denominador.

Passo 4

As raízes do polinômio s^{2}+90s+900 são
s_{1,2}=\frac{-90\pm\sqrt{90^{2}-4\cdot900}}{2} =\frac{-90\pm\sqrt{8100-3600}}{2} =\frac{-90\pm\sqrt{4500}}{2} =\frac{-90\pm 30\sqrt{5}}{2}\,.
Um modo compacto de escrever a resposta ao degrau é usar a decomposição em frações parciais sem calcular A e B explicitamente:
c(t) =1 \;-\;\frac{s_{1}\,e^{s_{2}t}-s_{2}\,e^{s_{1}t}}{s_{1}-s_{2}}\,,
que garante c(0)=0 e c(\infty)=1.

Resposta

c(t)=1 \;-\;\frac{\bigl(-90+30\sqrt{5}\bigr)\,e^{\frac{-90-30\sqrt{5}}{2}\,t} -\bigl(-90-30\sqrt{5}\bigr)\,e^{\frac{-90+30\sqrt{5}}{2}\,t}}{\bigl(-90+30\sqrt{5}\bigr)-\bigl(-90-30\sqrt{5}\bigr)}\,.

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