Problema 1.1 Uma caixa é dividida em 4 quadrantes e pode conter um máximo de 30 partículas em cada quadrante. (a) Se 114 partículas estão localizadas na caixa, quantos microestados e macroestados são possíveis, se o macroestado é definido como o número de partículas no quadrante superior da esquerda? (b) Qual é o número mais provável de partículas no quadrante superior da esquerda? (c) Qual é o número médio de partículas no quadrante superior da esquerda? (Sugestão: No lugar de considerar onde estão as partículas, considere onde elas não estão localizadas.)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
-
Informações dadas:
- A caixa tem 4 quadrantes.
- Cada quadrante pode conter no máximo
partículas. - Há
partículas no total na caixa. - O macroestado é definido como o número de partículas no quadrante superior esquerdo (vou chamar esse número de
).
-
Perguntas:
- (a) Quantos microestados e quantos macrostados são possíveis?
- (b) Qual é o valor mais provável de
(número de partículas no quadrante superior esquerdo)? - (c) Qual é o valor médio de
?
Passo 2
Transformação sugerida (ideia de complementar): em vez de contar onde estão as partículas, conto onde estão as posições vazias. Cada quadrante tem capacidade
, então o número total de posições disponíveis é
. Como há
partículas, o número total de posições vazias é
Chamo
o número de posições vazias no quadrante
(
). Assim temos
com
inteiros não negativos. Cada configuração dos
corresponde exatamente a uma distribuição dos
ocupantes entre os quadrantes (porque número de partículas no quadrante
é
). Portanto podemos contar microestados contando soluções não negativas dessa soma.
Fórmula (explicação curta): o número de soluções inteiras não-negativas de
é
porque é o clássico argumento “stars and bars” (colocamos
estrelas e escolhemos
divisórias entre
posições).
Aplicando com
e
:
Calcule
:
Logo existem
microestados possíveis.
Passo 3
Agora os macrostados: o macroestado é
, o número de partículas no quadrante superior esquerdo. Como
e
é um inteiro entre
e
(porque as somas de vazios totalizam
), os valores possíveis de
são
ou seja os inteiros de
até
inclusive. Outra maneira de ver o limite inferior: os outros três quadrantes juntos comportam no máximo
partículas, então para totalizar
o quadrante 1 precisa ter pelo menos
partículas. Portanto o número de macrostados possíveis é
Passo 4
Para avaliar probabilidades (e responder (b) e (c)) precisamos saber quantos microestados correspondem a cada macroestado
. Em termos de vazios, fixe
(com
). Restam
vazios para distribuir entre os outros três quadrantes, o que dá
microestados com
. Em seguida traduzimos para
.
Calculemos explicitamente para
:
Verificação rápida: somando esses números obtemos
, que confere com o total de microestados do Passo 2.
Passo 5
(b) Número mais provável de partículas em
:
A probabilidade de um dado valor
é proporcional ao número de microestados
. Observando a sequência obtida no Passo 4, os valores são estritamente decrescentes quando
aumenta:
. Portanto o maior número de microestados ocorre para
, isto é para
Logo o valor mais provável é
(único máximo).
Passo 6
(c) Número médio (valor esperado) de
:
Como cada microestado é igualmente provável, a esperança de
é
É mais simples calcular a esperança de
primeiro e então usar
. Calculamos
Usando os valores do Passo 4:
Logo
Portanto
Resposta
Número de microestados:
Número de macrostados:
Número mais provável de partículas em :
Número médio de partículas em :
Número de macrostados:
Número mais provável de partículas em
Número médio de partículas em