Problema 1.1 Uma caixa é dividida em 4 quadrantes e pode conter um máximo de 30 partículas em cada quadrante. (a) Se 114 partículas estão localizadas na caixa, quantos microestados e macroestados são possíveis, se o macroestado é definido como o número de partículas no quadrante superior da esquerda? (b) Qual é o número mais provável de partículas no quadrante superior da esquerda? (c) Qual é o número médio de partículas no quadrante superior da esquerda? (Sugestão: No lugar de considerar onde estão as partículas, considere onde elas não estão localizadas.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
  • Informações dadas:
    • A caixa tem 4 quadrantes.
    • Cada quadrante pode conter no máximo 30 partículas.
    • 114 partículas no total na caixa.
    • O macroestado é definido como o número de partículas no quadrante superior esquerdo (vou chamar esse número de n_1).
  • Perguntas:
    • (a) Quantos microestados e quantos macrostados são possíveis?
    • (b) Qual é o valor mais provável de n_1 (número de partículas no quadrante superior esquerdo)?
    • (c) Qual é o valor médio de n_1?

Passo 2

Transformação sugerida (ideia de complementar): em vez de contar onde estão as partículas, conto onde estão as posições vazias. Cada quadrante tem capacidade 30, então o número total de posições disponíveis é 4\cdot30=120. Como há 114 partículas, o número total de posições vazias é
120-114=6.
Chamo e_i o número de posições vazias no quadrante i ( i=1,2,3,4). Assim temos
e_1+e_2+e_3+e_4 = 6,
com e_i inteiros não negativos. Cada configuração dos e_i corresponde exatamente a uma distribuição dos 114 ocupantes entre os quadrantes (porque número de partículas no quadrante i é 30-e_i). Portanto podemos contar microestados contando soluções não negativas dessa soma.
Fórmula (explicação curta): o número de soluções inteiras não-negativas de
x_1+\dots+x_N = m
é
\binom{m+N-1}{N-1},
porque é o clássico argumento “stars and bars” (colocamos m estrelas e escolhemos N-1 divisórias entre m+N-1 posições).
Aplicando com m=6 e N=4:
\text{número de microestados}=\binom{6+4-1}{4-1}=\binom{9}{3}.ú
Calcule \binom{9}{3}:
\binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84.
Logo existem 84 microestados possíveis.

Passo 3

Agora os macrostados: o macroestado é n_1, o número de partículas no quadrante superior esquerdo. Como n_1=30-e_1 e e_1 é um inteiro entre 0 e 6 (porque as somas de vazios totalizam 6), os valores possíveis de n_1 são
n_1 = 30,29,28,27,26,25,24,
ou seja os inteiros de 24 até 30 inclusive. Outra maneira de ver o limite inferior: os outros três quadrantes juntos comportam no máximo 3\cdot30=90 partículas, então para totalizar 114 o quadrante 1 precisa ter pelo menos 114-90=24 partículas. Portanto o número de macrostados possíveis é
30-24+1=7.

Passo 4

Para avaliar probabilidades (e responder (b) e (c)) precisamos saber quantos microestados correspondem a cada macroestado n_1. Em termos de vazios, fixe e_1=k (com k=0,1,\dots,6). Restam 6-k vazios para distribuir entre os outros três quadrantes, o que dá
\binom{(6-k)+3-1}{3-1}=\binom{8-k}{2}
microestados com e_1=k. Em seguida traduzimos para n_1=30-k.
Calculemos explicitamente para k=0,1,\dots,6:
\begin{aligned} k=0 &:\\ \binom{8}{2}=28,\\\ k=1 &:\\ \binom{7}{2}=21,\\\ k=2 &:\\ \binom{6}{2}=15,\\\ k=3 &:\\ \binom{5}{2}=10,\\\ k=4 &:\\ \binom{4}{2}=6,\\\ k=5 &:\\ \binom{3}{2}=3,\\\ k=6 &:\\ \binom{2}{2}=1. \end{aligned}
Verificação rápida: somando esses números obtemos 28+21+15+10+6+3+1=84, que confere com o total de microestados do Passo 2.

Passo 5

(b) Número mais provável de partículas em n_1:
A probabilidade de um dado valor n_1=30-k é proporcional ao número de microestados \binom{8-k}{2}. Observando a sequência obtida no Passo 4, os valores são estritamente decrescentes quando k aumenta: 28,21,15,10,6,3,1. Portanto o maior número de microestados ocorre para k=0, isto é para
n_1 = 30-0 = 30.
Logo o valor mais provável é n_1=30 (único máximo).

Passo 6

(c) Número médio (valor esperado) de n_1:
Como cada microestado é igualmente provável, a esperança de n_1 é
\langle n_1\rangle = \frac{1}{84}\sum_{k=0}^{6} (30-k)\,\binom{8-k}{2}.
É mais simples calcular a esperança de e_1=k primeiro e então usar \langle n_1\rangle =30-\langle e_1\rangle. Calculamos
\langle e_1\rangle = \frac{1}{84}\sum_{k=0}^{6} k\,\binom{8-k}{2}.
Usando os valores do Passo 4:
\begin{aligned} \sum_{k=0}^{6} k\,\binom{8-k}{2} &=0\cdot28 + 1\cdot21 + 2\cdot15 + 3\cdot10 + 4\cdot6 + 5\cdot3 + 6\cdot1\\\ &=0+21+30+30+24+15+6=126. \end{aligned}
Logo
\langle e_1\rangle = \frac{126}{84}=1{,}5.
Portanto
\langle n_1\rangle = 30 - 1{,}5 = 28{,}5.

Resposta

Número de microestados: 84
Número de macrostados: 7
Número mais provável de partículas em n_1: 30
Número médio de partículas em n_1: 28{,}5

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