Exercício 1.5 Um gás ideal monoatômico está fechado em uma caixa cúbica de aresta l. Preservando a forma cúbica, o volume da caixa diminui até que a aresta tenha diminuído pela metade, sendo que essa mudança faz triplicar a pressão na caixa. (a) Qual é a variação de entropia por partícula de gás na caixa? (b) o sistema é fechado?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informações dadas:
- A caixa é cúbica de aresta inicial
. - A aresta final é
(ou seja, a aresta diminuiu pela metade). - O volume inicial é
. - O volume final é
. - A pressão final é três vezes a pressão inicial:
. - O gás é ideal monoatômico e está “fechado na caixa” (o enunciado usa essa expressão).
- A caixa é cúbica de aresta inicial
- Perguntas:
- (a) Qual é a variação de entropia por partícula do gás na caixa,
(ou seja, por partícula)? - (b) O sistema é fechado?
- (a) Qual é a variação de entropia por partícula do gás na caixa,
A partir daqui vamos calcular
passo a passo e depois responder se o sistema é fechado.
Passo 2
Conceitos e fórmula básica que vamos usar (explicação didática).
- Definição útil: entropia é função de estado; a variação de entropia entre dois estados independe do caminho. Portanto podemos usar uma relação de estado para um gás ideal.
- Primeira lei e calor reversível: para um gás ideal, a primeira lei dá
. - Energia interna do gás ideal monoatômico depende só de temperatura:
, onde: -
é o número de partículas, -
é o calor específico por partícula (à volume constante).
-
- Dividindo por
e usando temos: - Usando a equação de estado do gás ideal
(onde é a constante de Boltzmann), temos . Assim - Integrando de
para (já que é função de estado): - Como pedem variação por partícula, definimos
, portanto
Passo 3
Valor de
para gás ideal monoatômico (explicação concreta).
- Pelo Princípio de Equipartição, um átomo monoatômico livre tem apenas 3 graus de liberdade translacionais; a energia média por partícula é
. - Assim a energia interna por partícula é
e, portanto, o calor específico por partícula à volume constante é - Substituindo em
:
Passo 4
Expressar
em termos de pressões e volumes conhecidos (usando que
).
- Da equação de estado
, temos , logo - Substituindo essa relação em
: - Separando os logaritmos:
- Agrupando os termos em
:
Passo 5
Substituir os valores dados e calcular numericame nte (explicando cada operação).
- Sabemos
(dado) e (porque ). Então - Explique
e . Assim - Podemos dar também o valor numérico (usando
e ): logo e portanto - Interpretação física rápida: a entropia por partícula diminuiu (valor negativo) porque o gás foi comprimido (menos volume disponível por partícula). Como entropia é função de estado, não precisamos saber o caminho termodinâmico reversível/irreversível — basta conhecer os estados inicial e final.
Passo 6
Responder (b) — o sistema é fechado? (definição e justificativa curta, didática e empática)
- Definição: um sistema fechado é aquele em que não há troca de massa com o ambiente (a energia pode ser trocada, mas a massa é fixa). Um sistema isolado não troca nem massa nem energia.
- O enunciado diz que o gás está “fechado em uma caixa” — isto indica que as partículas do gás permanecem na caixa; não houve menção a vazamentos ou troca de massa. Assim a massa (nº de partículas) é fixa.
- Conclusão: sim, o sistema é fechado (a massa é fixa). Não podemos afirmar necessariamente que seja isolado (poderia haver troca de calor com o exterior durante a compressão), mas é de fato um sistema fechado.
Resposta
Sim — o sistema é fechado (não há troca de massa).