Exercício 1.5 Um gás ideal monoatômico está fechado em uma caixa cúbica de aresta l. Preservando a forma cúbica, o volume da caixa diminui até que a aresta tenha diminuído pela metade, sendo que essa mudança faz triplicar a pressão na caixa. (a) Qual é a variação de entropia por partícula de gás na caixa? (b) o sistema é fechado?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informações dadas:
    • A caixa é cúbica de aresta inicial \ell.
    • A aresta final é \ell/2 (ou seja, a aresta diminuiu pela metade).
    • O volume inicial é V_i=\ell^3.
    • O volume final é V_f=(\ell/2)^3=\ell^3/8.
    • A pressão final é três vezes a pressão inicial: p_f=3p_i.
    • O gás é ideal monoatômico e está “fechado na caixa” (o enunciado usa essa expressão).
  • Perguntas:
    1. (a) Qual é a variação de entropia por partícula do gás na caixa, \Delta s (ou seja, \Delta S por partícula)?
    2. (b) O sistema é fechado?
A partir daqui vamos calcular \Delta s passo a passo e depois responder se o sistema é fechado.

Passo 2

Conceitos e fórmula básica que vamos usar (explicação didática).
  • Definição útil: entropia é função de estado; a variação de entropia entre dois estados independe do caminho. Portanto podemos usar uma relação de estado para um gás ideal.
  • Primeira lei e calor reversível: para um gás ideal, a primeira lei dá \delta Q_{\text{rev}}=dU+p\,dV.
  • Energia interna do gás ideal monoatômico depende só de temperatura: dU=N c_v\,dT, onde:
    • N é o número de partículas,
    • c_v é o calor específico por partícula (à volume constante).
  • Dividindo por T e usando \mathrm{d}S=\delta Q_{\text{rev}}/T temos: dS = \frac{N c_v\,dT}{T} + \frac{p\,dV}{T}.
  • Usando a equação de estado do gás ideal \,pV=N k T (onde k é a constante de Boltzmann), temos \dfrac{p}{T}=\dfrac{N k}{V}. Assim dS = N c_v\frac{dT}{T} + N k\frac{dV}{V}.
  • Integrando de i para f (já que S é função de estado): \Delta S = N c_v \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right) + N k \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Como pedem variação por partícula, definimos \Delta s=\dfrac{\Delta S}{N}, portanto \Delta s = c_v \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right) + k \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).

Passo 3

Valor de c_v para gás ideal monoatômico (explicação concreta).
  • Pelo Princípio de Equipartição, um átomo monoatômico livre tem apenas 3 graus de liberdade translacionais; a energia média por partícula é \tfrac{3}{2}kT.
  • Assim a energia interna por partícula é u=\tfrac{3}{2}kT e, portanto, o calor específico por partícula à volume constante é c_v = \frac{du}{dT} = \frac{3}{2}k.
  • Substituindo em \Delta s: \Delta s = \frac{3}{2}k \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right) + k \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).

Passo 4

Expressar \dfrac{T_f}{T_i} em termos de pressões e volumes conhecidos (usando que pV\propto T).
  • Da equação de estado \,pV=N k T, temos T\propto pV, logo \frac{T_f}{T_i}=\frac{p_f V_f}{p_i V_i}.
  • Substituindo essa relação em \Delta s: \Delta s = \frac{3}{2}k \ln\!\left(\frac{p_f V_f}{p_i V_i}\right) + k \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Separando os logaritmos: \Delta s = \frac{3}{2}k\ln\!\left(\frac{p_f}{p_i}\right) + \frac{3}{2}k\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right) + k\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Agrupando os termos em \ln(V_f/V_i): \Delta s = \frac{3}{2}k\ln\!\left(\frac{p_f}{p_i}\right) + \frac{5}{2}k\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).

Passo 5

Substituir os valores dados e calcular numericame nte (explicando cada operação).
  • Sabemos p_f/p_i=3 (dado) e V_f/V_i=1/8 (porque (\ell/2)^3=\ell^3/8). Então \Delta s = \frac{3}{2}k\ln 3 + \frac{5}{2}k\ln\!\left(\frac{1}{8}\right).
  • Explique \ln(1/8)=-\ln 8 e \ln 8 = \ln(2^3)=3\ln 2. Assim \Delta s = \frac{3}{2}k\ln 3 - \frac{5}{2}k\ln 8 = \frac{3}{2}k\ln 3 - \frac{15}{2}k\ln 2.
  • Podemos dar também o valor numérico (usando \ln 3\approx1{,}098612 e \ln 2\approx0{,}693147): \frac{3}{2}\ln 3 \approx 1{,}647918,\qquad \frac{15}{2}\ln 2 \approx 5{,}198603,logo \frac{\Delta s}{k}\approx 1{,}647918 - 5{,}198603 = -3{,}550685,e portanto \Delta s \approx -3{,}5507\,k.
  • Interpretação física rápida: a entropia por partícula diminuiu (valor negativo) porque o gás foi comprimido (menos volume disponível por partícula). Como entropia é função de estado, não precisamos saber o caminho termodinâmico reversível/irreversível — basta conhecer os estados inicial e final.

Passo 6

Responder (b) — o sistema é fechado? (definição e justificativa curta, didática e empática)
  • Definição: um sistema fechado é aquele em que não há troca de massa com o ambiente (a energia pode ser trocada, mas a massa é fixa). Um sistema isolado não troca nem massa nem energia.
  • O enunciado diz que o gás está “fechado em uma caixa” — isto indica que as partículas do gás permanecem na caixa; não houve menção a vazamentos ou troca de massa. Assim a massa (nº de partículas) é fixa.
  • Conclusão: sim, o sistema é fechado (a massa é fixa). Não podemos afirmar necessariamente que seja isolado (poderia haver troca de calor com o exterior durante a compressão), mas é de fato um sistema fechado.

Resposta

\Delta s = \dfrac{3}{2}k\ln 3 - \dfrac{15}{2}k\ln 2 \approx -3{,}5507\,k\n
Sim — o sistema é fechado (não há troca de massa).

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