Problema 1 Calcule a integral
\iiint_{\Omega} x y z e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y d z
sendo \Omega o conjunto de pontos em \mathbb{R}^{3} tais que 0 \leq x \leq \sqrt{\ln 2}, 0 \leq y \leq \sqrt{\ln 4} e 0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{\Omega} x y z e^{-x^{2}-y^{2}}\, d x\, d y\, d z
onde \Omega é o paralelepípedo definido por
0 \leq x \leq \sqrt{\ln 2},\qquad 0 \leq y \leq \sqrt{\ln 4},\qquad 0 \leq z \leq 1.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Integrando: } f(x,y,z)=x y z e^{-x^{2}-y^{2}}.
\text{Intervalos: } x\in\left[0,\sqrt{\ln 2}\right],\; y\in\left[0,\sqrt{\ln 4}\right],\; z\in[0,1].
O objetivo final é obter o valor numérico dessa integral tripla.

Passo 2

Observação e justificativa para separar a integral (explicação didática): como \Omega é um produto de intervalos (um paralelepípedo) e a função f(x,y,z)=x y z e^{-x^{2}-y^{2}} é contínua nesse conjunto, podemos usar a regra de integração iterada (Teorema de Fubini) para escrever a integral tripla como uma integral iterada. Além disso, note que o integrando se separa como produto de funções de cada variável:
x y z e^{-x^{2}-y^{2}}=(x e^{-x^{2}})\cdot (y e^{-y^{2}})\cdot z.
Quando o integrando é produto de funções que dependem de variáveis distintas em um domínio retangular, a integral tripla se fatoriza em produto de integrais simples:
\iiint_{\Omega} x y z e^{-x^{2}-y^{2}}\, d x\, d y\, d z = \left(\int_{0}^{\sqrt{\ln 2}} x e^{-x^{2}}\, d x\right) \left(\int_{0}^{\sqrt{\ln 4}} y e^{-y^{2}}\, d y\right) \left(\int_{0}^{1} z\, d z\right).
Aqui eu usei a propriedade linear e a independência dos limites (produto de intervalos) para separar.

Passo 3

Calcular a integral em z. Esta é a mais simples: conhecemos a primitiva de z.
A primitiva de z é \dfrac{z^{2}}{2}. Portanto,
\int_{0}^{1} z\, d z = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.
Guarde este resultado para multiplicar no final.

Passo 4

Calcular a integral em x. Técnica: substituição. Para integrais do tipo \int x e^{-x^{2}}\, dx é padrão usar u=x^{2}.
Faça a substituição \;u=x^{2}\;\Rightarrow\; du=2x\,dx\;\Rightarrow\; x\,dx=\dfrac{du}{2}.
Assim a integral indefinida fica
\int x e^{-x^{2}}\, dx = \int e^{-u}\,\frac{du}{2} = -\frac{1}{2}e^{-u}+C = -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}+C.
Agora a integral definida de 0 a \sqrt{\ln 2} é
\int_{0}^{\sqrt{\ln 2}} x e^{-x^{2}}\, dx = \left.-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}\right|_{0}^{\sqrt{\ln 2}} = -\frac{1}{2}\bigl(e^{-(\sqrt{\ln 2})^{2}}-e^{0}\bigr).
Note que (\sqrt{\ln 2})^{2}=\ln 2, então e^{-\ln 2}=\frac{1}{2}. Assim
\int_{0}^{\sqrt{\ln 2}} x e^{-x^{2}}\, dx = -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) = -\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}.

Passo 5

Calcular a integral em y. Mesma técnica: definição da primitiva é a mesma já que a forma é idêntica.
A integral indefinida é -\dfrac{1}{2}e^{-y^{2}}+C. Avaliando de 0 a \sqrt{\ln 4}:
\int_{0}^{\sqrt{\ln 4}} y e^{-y^{2}}\, dy = \left.-\frac{1}{2}e^{-y^{2}}\right|_{0}^{\sqrt{\ln 4}} = -\frac{1}{2}\bigl(e^{-(\sqrt{\ln 4})^{2}}-e^{0}\bigr).
Aqui (\sqrt{\ln 4})^{2}=\ln 4 e e^{-\ln 4}=\dfrac{1}{4} (porque \ln 4=\ln(2^{2})=2\ln 2, então e^{-\ln 4}=e^{-2\ln 2}=(e^{\ln 2})^{-2}=2^{-2}=\tfrac{1}{4}). Assim
\int_{0}^{\sqrt{\ln 4}} y e^{-y^{2}}\, dy = -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-1\right) = -\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{8}.

Passo 6

Multiplicar os três resultados (produto das integrais em x, y e z) para obter o valor final. Temos:
\left(\int_{0}^{\sqrt{\ln 2}} x e^{-x^{2}}\, d x\right) \left(\int_{0}^{\sqrt{\ln 4}} y e^{-y^{2}}\, d y\right) \left(\int_{0}^{1} z\, d z\right) = \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{8}\right)\left(\frac{1}{2}\right).
Faça a multiplicação passo a passo:
\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{32},
\frac{3}{32}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{64}.

Resposta

\dfrac{3}{64}

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