Problema 2 Calcule o volume da região no espaço delimitada pelos cilindros x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=2 e os planos z=4-x-y e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região no espaço que é limitada pelos cilindros \\ x^{2}+y^{2}=1\ e \\ x^{2}+y^{2}=2\ e pelos planos \\ z=4-x-y\ e \\ z=0\.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\ - Superfícies laterais: cilindros definidos por \\ x^{2}+y^{2}=1\ (raio interno) e \\ x^{2}+y^{2}=2\ (raio externo).
\ - Plano inferior: \\ z=0\.
\ - Plano superior: \\ z=4-x-y\.
Pergunta explícita: calcular o volume da região compreendida entre essas superfícies.

Passo 2

Projetando a região no plano xy, o domínio de integração é a coroa (anel)
D=\{(x,y)\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le 2\}.
Antes de montar a integral, preciso verificar se o plano superior \\ z=4-x-y\ fica sempre acima de \\ z=0\ sobre todo D. Vou mostrar que \\\ 4-x-y>0\ para todos os pontos de D.
Usando desigualdade de Cauchy–Schwarz: para todo (x,y) vale
x+y \le \sqrt{x^{2}+y^{2}}\cdot\sqrt{1^{2}+1^{2}} = r\sqrt{2},
onde \\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Como em D temos \\ r\le \sqrt{2}\, segue
x+y \le r\sqrt{2}\le \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.
Portanto \\ x+y\le 2, logo \\\ 4-x-y\ge 2>0. Conclusão: o plano superior está estritamente acima de \\ z=0 em toda a coroa D, então a altura vertical da região em cada ponto (x,y)\in D é \\\ 4-x-y.

Passo 3

Montamos o volume como integral dupla da altura sobre D:
V=\iint_{D} (4-x-y)\,dA.
Como D é uma região circular (anel), convém usar coordenadas polares. Recordando a mudança de variáveis para coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA = r\,dr\,d\theta,
onde \\ r\ge 0 e \\ \theta é o ângulo. Os limites para a coroa são \\\ 1\le r^{2}\le 2, isto é \\\ 1\le r\le \sqrt{2}, e \\\ 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 4

Substituindo na integral em coordenadas polares, o integrando fica
4-x-y = 4 - r\cos\theta - r\sin\theta,
e multiplicando pelo jacobiano r obtemos a integranda em r,\theta:
(4 - r\cos\theta - r\sin\theta)\,r = 4r - r^{2}(\cos\theta+\sin\theta).
Portanto a integral do volume é
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{2}} \bigl(4r - r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Vou separar a integral em duas partes e usar que as integrais de \cos\theta e \sin\theta em um período valem zero:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{2}} 4r\,dr\,d\theta \;-\; \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{2}} r^{2}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta.
Calculo a parte com seno e cosseno trocando a ordem (podemos), por exemplo:
\int_{0}^{2\pi} (\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta + \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0 + 0 = 0.
Assim a segunda parcela é zero porque o fator angular anula-se. Resta a primeira parcela:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{2}} 4r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calculo a integral radial e depois a angular:
\int_{1}^{\sqrt{2}} 4r\,dr = 4\cdot\frac{1}{2}\bigl(r^{2}\bigr)\Big|_{1}^{\sqrt{2}} = 2\bigl((\sqrt{2})^{2}-1^{2}\bigr)=2(2-1)=2.
Agora a integral em \theta:
V=\int_{0}^{2\pi} 2\,d\theta = 2\cdot(2\pi)=4\pi.

Resposta

\,4\pi

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