Problema 2 Calcule o volume da região no espaço delimitada pelos cilindros x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=2 e os planos z=4-x-y e z=0.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região no espaço que é limitada pelos cilindros \\ x^{2}+y^{2}=1\ e \\ x^{2}+y^{2}=2\ e pelos planos \\ z=4-x-y\ e \\ z=0\.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: \ - Superfícies laterais: cilindros definidos por \\ x^{2}+y^{2}=1\ (raio interno) e \\ x^{2}+y^{2}=2\ (raio externo). \ - Plano inferior: \\ z=0\. \ - Plano superior: \\ z=4-x-y\.
Pergunta explícita: calcular o volume da região compreendida entre essas superfícies.
Passo 2
Projetando a região no plano xy, o domínio de integração é a coroa (anel)
D=\{(x,y)\mid 1\le x^{2}+y^{2}\le 2\}.
Antes de montar a integral, preciso verificar se o plano superior \\ z=4-x-y\ fica sempre acima de \\ z=0\ sobre todo D. Vou mostrar que \\\ 4-x-y>0\ para todos os pontos de D.
Usando desigualdade de Cauchy–Schwarz: para todo (x,y) vale
onde \\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Como em D temos \\ r\le \sqrt{2}\, segue
x+y \le r\sqrt{2}\le \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.
Portanto \\ x+y\le 2, logo \\\ 4-x-y\ge 2>0. Conclusão: o plano superior está estritamente acima de \\ z=0 em toda a coroa D, então a altura vertical da região em cada ponto (x,y)\in D é \\\ 4-x-y.
Passo 3
Montamos o volume como integral dupla da altura sobre D:
V=\iint_{D} (4-x-y)\,dA.
Como D é uma região circular (anel), convém usar coordenadas polares. Recordando a mudança de variáveis para coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA = r\,dr\,d\theta,
onde \\ r\ge 0 e \\ \theta é o ângulo. Os limites para a coroa são \\\ 1\le r^{2}\le 2, isto é \\\ 1\le r\le \sqrt{2}, e \\\ 0\le\theta\le 2\pi.
Passo 4
Substituindo na integral em coordenadas polares, o integrando fica
4-x-y = 4 - r\cos\theta - r\sin\theta,
e multiplicando pelo jacobiano r obtemos a integranda em r,\theta: