De acordo com a Política Nacional de Resíduos Sólidos (PNRS), a disposição final ambientalmente adequada pode ser entendida como a destinação de resíduos, o que inclui a reutilização, a reciclagem, a compostagem, a recuperação e o aproveitamento energético ou outras destinações admitidas pelos órgãos competentes, ou a disposição ordenada de rejeitos em aterros, observando-se normas operacionais especificas. Suponha que os prefeitos de três cidades vizinhas decidiram fazer um projeto conjunto para a construção de um armazém para separação de materiais recicláveis e que pudesse funcionar também como um ponto de entrega voluntária. Os prefeitos decidiram que o armazém deveria ser construído em um local equidistante aos centros das cidades, representados em um plano cartesiano pelos pontos A=(1,3), B=(10, 0 ) e C=(3,7)\\. Nessa situação, quais são as coordenadas do ponto escolhido?

Passo 1

O enunciado pede o ponto do plano que seja equidistante dos centros das três cidades dadas pelos pontos A=(1,3), B=(10,0) e C=(3,7). Em outras palavras, queremos o ponto P=(x,y) tal que a distância de P a A, a B e a C seja a mesma. As informações relevantes são os três pontos:
A=(1,3),\qquad B=(10,0),\qquad C=(3,7).
O objetivo final é achar as coordenadas (x,y) do ponto equidistante desses três pontos.

Passo 2

Ideia matemática que vamos usar (explicada passo a passo): se P=(x,y) é equidistante de A e B, então as distâncias satisfazem
\text{dist}(P,A)=\text{dist}(P,B).
A fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
\text{dist}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Para evitar trabalhar com raízes (que complicam), é habitual igualar os quadrados das distâncias; isso dá equações mais simples (lineares após cancelamento dos termos quadráticos). Então escrevemos a igualdade dos quadrados das distâncias de P a A e a B:
(x-1)^2+(y-3)^2=(x-10)^2+(y-0)^2.

Passo 3

Vou expandir e simplificar a equação do passo anterior, mostrando cada termo:
(x-1)^2+(y-3)^2 = x^2-2x+1 + y^2-6y+9 = x^2+y^2-2x-6y+10.
(x-10)^2+(y-0)^2 = x^2-20x+100 + y^2 = x^2+y^2-20x+100.
Igualando e cancelando x^2+y^2 dos dois lados obtemos uma equação linear:
-2x-6y+10 = -20x+100.
Agrupando termos:
18x-6y-90=0.
Dividindo por 6 para simplificar:
3x-y-15=0.
Isolando y fica
y=3x-15.

Passo 4

Agora fazemos o mesmo para as distâncias de P a A e a C. Igualamos os quadrados:
(x-1)^2+(y-3)^2=(x-3)^2+(y-7)^2.

Passo 5

Expandindo e simplificando essa segunda igualdade:
(x-1)^2+(y-3)^2 = x^2+y^2-2x-6y+10
e
(x-3)^2+(y-7)^2 = x^2-6x+9 + y^2-14y+49 = x^2+y^2-6x-14y+58.
Cancelando x^2+y^2 e rearranjando:
-2x-6y+10 = -6x-14y+58.
Passando todos os termos para um lado:
4x+8y-48=0.
Dividindo por 4:
x+2y-12=0.
Isolando x temos
x=12-2y.

Passo 6

Agora resolvemos o sistema linear formado pelas duas equações que obtivemos:
\begin{cases} y=3x-15,\\[4pt] x+2y-12=0. \end{cases}
Substituo y da primeira na segunda:
x+2(3x-15)-12=0.
Faço as contas passo a passo:
x+6x-30-12=0
7x-42=0
x=6.
Agora volto em y=3x-15:
y=3\cdot 6-15=18-15=3.]

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar segurança na prova): calculo as distâncias de P=(6,3) a cada vértice para confirmar que todas são iguais.
\text{dist}(P,A)=\sqrt{(6-1)^2+(3-3)^2}=\sqrt{25+0}=5,
\text{dist}(P,B)=\sqrt{(6-10)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5,
\text{dist}(P,C)=\sqrt{(6-3)^2+(3-7)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
As três distâncias são iguais a 5, logo P=(6,3) é de fato o ponto equidistante (o circuncentro do triângulo formado por A,B,C).

Resposta

(6,3)

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