De acordo com a Política Nacional de Resíduos Sólidos (PNRS), a disposição final ambientalmente adequada pode ser entendida como a destinação de resíduos, o que inclui a reutilização, a reciclagem, a compostagem, a recuperação e o aproveitamento energético ou outras destinações admitidas pelos órgãos competentes, ou a disposição ordenada de rejeitos em aterros, observando-se normas operacionais especificas. Suponha que os prefeitos de três cidades vizinhas decidiram fazer um projeto conjunto para a construção de um armazém para separação de materiais recicláveis e que pudesse funcionar também como um ponto de entrega voluntária. Os prefeitos decidiram que o armazém deveria ser construído em um local equidistante aos centros das cidades, representados em um plano cartesiano pelos pontos
, 0 ) e
. Nessa situação, quais são as coordenadas do ponto escolhido?
Passo 1
O enunciado pede o ponto do plano que seja equidistante dos centros das três cidades dadas pelos pontos
,
e
. Em outras palavras, queremos o ponto
tal que a distância de
a
, a
e a
seja a mesma. As informações relevantes são os três pontos:
O objetivo final é achar as coordenadas
do ponto equidistante desses três pontos.
Passo 2
Ideia matemática que vamos usar (explicada passo a passo): se
é equidistante de
e
, então as distâncias satisfazem
A fórmula da distância entre dois pontos
e
é
Para evitar trabalhar com raízes (que complicam), é habitual igualar os quadrados das distâncias; isso dá equações mais simples (lineares após cancelamento dos termos quadráticos). Então escrevemos a igualdade dos quadrados das distâncias de
a
e a
:
Passo 3
Vou expandir e simplificar a equação do passo anterior, mostrando cada termo:
Igualando e cancelando
dos dois lados obtemos uma equação linear:
Agrupando termos:
Dividindo por
para simplificar:
Isolando
fica
Passo 4
Agora fazemos o mesmo para as distâncias de
a
e a
. Igualamos os quadrados:
Passo 5
Expandindo e simplificando essa segunda igualdade:
e
Cancelando
e rearranjando:
Passando todos os termos para um lado:
Dividindo por
:
Isolando
temos
Passo 6
Agora resolvemos o sistema linear formado pelas duas equações que obtivemos:
Substituo
da primeira na segunda:
Faço as contas passo a passo:
Agora volto em
:
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar segurança na prova): calculo as distâncias de
a cada vértice para confirmar que todas são iguais.
As três distâncias são iguais a
, logo
é de fato o ponto equidistante (o circuncentro do triângulo formado por
).