Problema 2: Campo elétrico: distribuição de cargas [5.0] Considere um anel carregado com carga
e de raio
. Seja um ponto
à altura
acima do plano e que passa pelo centro do anel.
(a) Calcule o campo elétrico no ponto
.
(a) Calcule o campo elétrico no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre campos elétricos em uma distribuição de cargas. Temos um anel com carga total
e raio
, e queremos descobrir qual é o campo elétrico
no ponto
, que está a uma altura
acima do centro do anel. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por cargas distribuídas em uma geometria específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
onde
é a carga,
é a distância até o ponto onde queremos calcular o campo, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
No caso de um anel carregado, não temos uma carga pontual, mas uma distribuição contínua de cargas. Vamos considerar um elemento infinitesimal de carga no anel, chamado
. O campo elétrico gerado por esse
no ponto
pode ser calculado usando a mesma fórmula da Lei de Coulomb, mas precisamos integrar esse campo ao redor de todo o anel.
Passo 4
Devido à simetria do anel, os componentes horizontais do campo elétrico (nas direções do plano do anel) vão se cancelar quando somarmos todas as contribuições de cada elemento
. Apenas a componente vertical (na direção do eixo
) vai somar. Então, focamos em calcular apenas essa componente vertical
para cada
.
Passo 5
A distância do elemento
até o ponto
é a hipotenusa de um triângulo com catetos
e
, daí:
A componente vertical do campo devido a
é:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para encontrar o campo total
, integramos
ao redor de todo o anel. Como a carga total é
e a carga está distribuída uniformemente no anel, temos:
Resposta
O campo elétrico no ponto
é dado por: