Problema 2: Campo elétrico: distribuição de cargas [5.0] Considere um anel carregado com carga Q e de raio R. Seja um ponto P à altura z acima do plano e que passa pelo centro do anel.
(a) Calcule o campo elétrico no ponto P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre campos elétricos em uma distribuição de cargas. Temos um anel com carga total Q e raio R, e queremos descobrir qual é o campo elétrico E no ponto P, que está a uma altura z acima do centro do anel. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por cargas distribuídas em uma geometria específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
E = 14pivarepsilon0 cdot qr^2 cdot r
onde q é a carga, r é a distância até o ponto onde queremos calcular o campo, e r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 3

No caso de um anel carregado, não temos uma carga pontual, mas uma distribuição contínua de cargas. Vamos considerar um elemento infinitesimal de carga no anel, chamado dq. O campo elétrico gerado por esse dq no ponto P pode ser calculado usando a mesma fórmula da Lei de Coulomb, mas precisamos integrar esse campo ao redor de todo o anel.

Passo 4

Devido à simetria do anel, os componentes horizontais do campo elétrico (nas direções do plano do anel) vão se cancelar quando somarmos todas as contribuições de cada elemento dq. Apenas a componente vertical (na direção do eixo z) vai somar. Então, focamos em calcular apenas essa componente vertical dEz para cada dq.

Passo 5

A distância do elemento dq até o ponto P é a hipotenusa de um triângulo com catetos R e z, daí:
r = raizR^2 + z^2
A componente vertical do campo devido a dq é:
dEz = 14pivarepsilon0 cdot dq(R^2 + z^2) cdot zraizR^2 + z^2
Simplificando:
dEz = 14pivarepsilon0 cdot dq cdot z(R^2 + z^2)^3/2

Passo 6

Agora, para encontrar o campo total Ez, integramos dEz ao redor de todo o anel. Como a carga total é Q e a carga está distribuída uniformemente no anel, temos:
Ez = 14pivarepsilon0 cdot Q cdot z(R^2 + z^2)^3/2

Resposta

O campo elétrico no ponto P é dado por:
E = 14pivarepsilon0 cdot Q cdot z(R^2 + z^2)^3/2 , z

Exercícios relacionados