Problema 5 Caracterize as bifurcações dos seguintes sistemas dinâmicos com relação à variação do parâmetro
:
$ \dot{x}=μ x-cos x$
$ \dot{x}=μ x-cos x$
Passo 1
O enunciado pede que a gente faça a análise de bifurcações de um sistema unidimensional dependente de parâmetro. O sistema é dado por
. Vamos precisar achar os pontos de equilíbrio (fixed points), estudar sua estabilidade e identificar para quais valores de
muda o número de equilíbrios (bifurcações).
Passo 2
Para encontrar os equilíbrios, resolvemos
ou seja, cada equilíbrio satisfaz
Gráficamente, isso equivale a intersectar a reta
com o gráfico de
. Dependendo de
, podemos ter muitas, poucas ou nenhuma interseção.
Passo 3
Uma bifurcação de saddle-node (colisão de dois equilíbrios) ocorre quando além de
também temos derivada nula:
Passo 4
Então, precisamos simultaneamente de
Passo 5
Da segunda equação vem
e da primeira
Passo 6
Igualando ambas as expressões para
, obtemos
que também podemos escrever como
Passo 7
As soluções não triviais disso são um conjunto infinito de valores
. Para cada
, definimos
Passo 8
Em cada
ocorre um saddle-node: dois pontos de equilíbrio (um estável e um instável) colidem e se anulam (ou surgem, dependendo do sentido em que
varia).
Passo 9
Para classificar a estabilidade de um equilíbrio
, usamos o sinal de
Passo 10
Se
, o ponto é assintoticamente estável; se
, é instável.
Passo 11
Portanto, o sistema apresenta uma sequência infinita de bifurcações de saddle-node nos valores críticos
onde
Resposta
O sistema sofre apenas bifurcações do tipo saddle-node. Elas acontecem para cada solução
de
, definindo os valores críticos de parâmetro
. Em cada
dois equilíbrios (um estável e um instável) colidem e desaparecem (ou surgem) quando
atravessa esse valor.