Problema 5 Caracterize as bifurcações dos seguintes sistemas dinâmicos com relação à variação do parâmetro μ :
$ \dot{x}=μ x-cos x$

Passo 1

O enunciado pede que a gente faça a análise de bifurcações de um sistema unidimensional dependente de parâmetro. O sistema é dado por dotx=μx-cos x. Vamos precisar achar os pontos de equilíbrio (fixed points), estudar sua estabilidade e identificar para quais valores de μ muda o número de equilíbrios (bifurcações).

Passo 2

Para encontrar os equilíbrios, resolvemos
μx-cos x=0
ou seja, cada equilíbrio satisfaz
μx=cos x.
Gráficamente, isso equivale a intersectar a reta y=μx com o gráfico de y=cos x. Dependendo de μ, podemos ter muitas, poucas ou nenhuma interseção.

Passo 3

Uma bifurcação de saddle-node (colisão de dois equilíbrios) ocorre quando além de f(x)=μx-cos x=0 também temos derivada nula:
fx(x)=ddx(μx-cos x)=μ+sin x=0

Passo 4

Então, precisamos simultaneamente de
μx-cos x=0 e μ+sin x=0

Passo 5

Da segunda equação vem
μ=-sin x,
e da primeira
μ=cos xx

Passo 6

Igualando ambas as expressões para μ, obtemos
cos xx=-sin xLongrightarrowcos x+xsin x=0,
que também podemos escrever como
tan x=-1x

Passo 7

As soluções não triviais disso são um conjunto infinito de valores xk. Para cada xk, definimos
μk=-sin xk

Passo 8

Em cada μ=μk ocorre um saddle-node: dois pontos de equilíbrio (um estável e um instável) colidem e se anulam (ou surgem, dependendo do sentido em que μ varia).

Passo 9

Para classificar a estabilidade de um equilíbrio x^*, usamos o sinal de
fx(x^*)=μ+sin x^*

Passo 10

Se fx<0, o ponto é assintoticamente estável; se fx>0, é instável.

Passo 11

Portanto, o sistema apresenta uma sequência infinita de bifurcações de saddle-node nos valores críticos
μk=-sin xk,
onde xk resolve tan xk=-1/xk.

Resposta

O sistema sofre apenas bifurcações do tipo saddle-node. Elas acontecem para cada solução xk de tan xk=-1/xk, definindo os valores críticos de parâmetro μk=-sin xk. Em cada μ=μk dois equilíbrios (um estável e um instável) colidem e desaparecem (ou surgem) quando μ atravessa esse valor.

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