Problema 5 Caracterize as bifurcações dos seguintes sistemas dinâmicos com relação à variação do parâmetro
:
$ \dot{x}=μ x-mathrm{e}^{x}+1$
$ \dot{x}=μ x-mathrm{e}^{x}+1$
Passo 1
O enunciado pede para estudar as bifurcações do sistema unidimensional
em função de μ. Vamos precisar encontrar os pontos de equilíbrio, analisar sua estabilidade e ver onde ocorre mudança qualitativa (derivada nula em um equilíbrio).
Passo 2
Equilíbrios x* satisfazem
Nota imediata: x=0 é sempre solução, pois μ·0 - e^0 +1 = 0.
Passo 3
Para verificar a estabilidade, calculamos
Em particular, em x=0 temos
Logo x=0 é estável se μ<1 e instável se μ>1.
Passo 4
O ponto de bifurcação aparece quando um equilíbrio muda sua estabilidade ou quando coincide com outro. Em x=0 isso ocorre quando f’(0)=0, isto é μ=1.
Passo 5
Para ver o tipo de bifurcação, fazemos expansão de f(x) perto de x=0 e μ≈1 usando ex=1+x+x2/2+O(x^3):
Este normal form é
que descreve uma bifurcação transcritica: existem sempre dois ramos de equilíbrio próximos a x=0 que se cruzam em μ=1 e trocam estabilidade.
Passo 6
Resumo dos regimes:
- μ<1: dois equilíbrios próximos a zero, um em x=0 (estável) e outro em x≈2(μ-1) negativo (instável).
- μ=1: os dois ramos coincidem em x=0, derivada zero.
- μ>1: novamente dois equilíbrios próximos (x=0 instável e x≈2(μ-1)>0 estável), trocando estabilidade.
Passo 7
Concluímos que a única bifurcação neste sistema, em x=0 para μ=1, é uma bifurcação transcrítica. No diagrama bifurcação, os ramos x=0 e x≈2(μ-1) se cruzam em μ=1 trocando estabilidade.
Resposta
Transcrítica em μ=1, envolvendo os equilíbrios em x=0 e em x≈2(μ−1).