Problema 5 Caracterize as bifurcações dos seguintes sistemas dinâmicos com relação à variação do parâmetro μ :
$ \dot{x}=μ x-mathrm{e}^{x}+1$

Passo 1

O enunciado pede para estudar as bifurcações do sistema unidimensional
dot x = μ,x - e^x + 1
em função de μ. Vamos precisar encontrar os pontos de equilíbrio, analisar sua estabilidade e ver onde ocorre mudança qualitativa (derivada nula em um equilíbrio).

Passo 2

Equilíbrios x* satisfazem
μ,x - e^x + 1 = 0
Nota imediata: x=0 é sempre solução, pois μ·0 - e^0 +1 = 0.

Passo 3

Para verificar a estabilidade, calculamos
f(x)=μx - e^x +1,
f'(x)=μ - e^x
Em particular, em x=0 temos
f'(0)=μ - 1
Logo x=0 é estável se μ<1 e instável se μ>1.

Passo 4

O ponto de bifurcação aparece quando um equilíbrio muda sua estabilidade ou quando coincide com outro. Em x=0 isso ocorre quando f’(0)=0, isto é μ=1.

Passo 5

Para ver o tipo de bifurcação, fazemos expansão de f(x) perto de x=0 e μ≈1 usando ex=1+x+x2/2+O(x^3):
dot x = μx - (1 + x + x^2/2) +1 + O(x^3) = (μ -1)x - x^22 + O(x^3)
Este normal form é
dot x = (μ-1)x - tfrac12 x^2 + dots
que descreve uma bifurcação transcritica: existem sempre dois ramos de equilíbrio próximos a x=0 que se cruzam em μ=1 e trocam estabilidade.

Passo 6

Resumo dos regimes:
  • μ<1: dois equilíbrios próximos a zero, um em x=0 (estável) e outro em x≈2(μ-1) negativo (instável).
  • μ=1: os dois ramos coincidem em x=0, derivada zero.
  • μ>1: novamente dois equilíbrios próximos (x=0 instável e x≈2(μ-1)>0 estável), trocando estabilidade.

Passo 7

Concluímos que a única bifurcação neste sistema, em x=0 para μ=1, é uma bifurcação transcrítica. No diagrama bifurcação, os ramos x=0 e x≈2(μ-1) se cruzam em μ=1 trocando estabilidade.

Resposta

Transcrítica em μ=1, envolvendo os equilíbrios em x=0 e em x≈2(μ−1).

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