Problema 5 Caracterize as bifurcações dos seguintes sistemas dinâmicos com relação à variação do parâmetro
:
$ \dot{x}=μ-cosh x$
$ \dot{x}=μ-cosh x$
Passo 1
Vamos resumir: o sistema é de dimensão 1 dado por
O assunto é análise de bifurcações em sistemas dinâmicos unidimensionais. Para resolver, a gente vai encontrar pontos de equilíbrio, estudar sua existência conforme
e analisar a estabilidade usando a derivada da função de vetor campo.
Passo 2
A gente acha os pontos de equilíbrio resolvendo
Ou seja
Como
para todo
, temos: se
não há solução; se
aparece um único equilíbrio em
; se
surgem duas soluções simétricas
Passo 3
Agora estudamos a estabilidade dos pontos de equilíbrio. Definimos
então
Em
, temos
logo
, o que torna esse ponto estável. Em
,
e
, ou seja, esse ponto é instável.
Passo 4
Observando o comportamento conforme
varia, notamos que em
surge um par de pontos de equilíbrio (um estável e um instável) que não existe para
. Esse cenário de criação/anihilação de um par de pontos de equilíbrio caracteriza uma bifurcação do tipo saddle-node.
Passo 5
Portanto, a bifurcação acontece em
, onde um ponto degenerado em
se divide, para
, em um equilíbrio estável e um instável.
Resposta
O sistema apresenta uma bifurcação saddle-node em
, com a criação de um par de pontos de equilíbrio (um estável e outro instável).