Problema 5 Caracterize as bifurcações dos seguintes sistemas dinâmicos com relação à variação do parâmetro μ :
$ \dot{x}=μ-cosh x$

Passo 1

Vamos resumir: o sistema é de dimensão 1 dado por
dotx=mu-cosh x
O assunto é análise de bifurcações em sistemas dinâmicos unidimensionais. Para resolver, a gente vai encontrar pontos de equilíbrio, estudar sua existência conforme mu e analisar a estabilidade usando a derivada da função de vetor campo.

Passo 2

A gente acha os pontos de equilíbrio resolvendo
mu-cosh x=0
Ou seja
mu=cosh x
Como cosh x>=1 para todo x, temos: se mu<1 não há solução; se mu=1 aparece um único equilíbrio em x=0; se mu>1 surgem duas soluções simétricas
x=pmarccosh(mu)

Passo 3

Agora estudamos a estabilidade dos pontos de equilíbrio. Definimos
f(x)=mu-cosh x
então
f'(x)=-sinh x
Em x+=+arccosh(mu)>0, temos sinh x+>0 logo f'(x+)<0, o que torna esse ponto estável. Em x-=-arccosh(mu)<0, sinh x-<0 e f'(x-)>0, ou seja, esse ponto é instável.

Passo 4

Observando o comportamento conforme mu varia, notamos que em mu=1 surge um par de pontos de equilíbrio (um estável e um instável) que não existe para mu<1. Esse cenário de criação/anihilação de um par de pontos de equilíbrio caracteriza uma bifurcação do tipo saddle-node.

Passo 5

Portanto, a bifurcação acontece em mu=1, onde um ponto degenerado em x=0 se divide, para mu>1, em um equilíbrio estável e um instável.

Resposta

O sistema apresenta uma bifurcação saddle-node em mu=1, com a criação de um par de pontos de equilíbrio (um estável e outro instável).

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