Problema 5 Caracterize as bifurcações dos seguintes sistemas dinâmicos com relação à variação do parâmetro
:
$ \dot{x}=μ x-operatorname{sen} x$
$ \dot{x}=μ x-operatorname{sen} x$
Passo 1
Enunciado e conteúdo: temos o sistema unidimensional
. Queremos caracterizar as bifurcações à medida que o parâmetro
varia, usando análise de pontos de equilíbrio e estabilidade.
Passo 2
Equilíbrios: resolvemos
. Logo
ou, para
Passo 3
Assim, existe sempre o equilíbrio trivial
e equilíbrios não triviais definidos pela curva
.
Passo 4
Estabilidade e bifurcação em
: a derivada de
em
é
Passo 5
Para
,
e
é atraente; para
,
e
é repulsor. Em
ocorre mudança de estabilidade. Para identificar o tipo de bifurcação, fazemos expansão
Passo 6
logo
Passo 7
Essa é a forma normal de um ponto de bifurcação do tipo pitchfork subcrítico em
: aparecem, para
, dois pontos de equilíbrio simétricos e instáveis que colidem e desaparecem quando
.
Passo 8
Bifurcações saddle-node nos ramos não triviais: a curva
tem máximos e mínimos locais em pontos
que satisfazem
Passo 9
Nos valores
Passo 10
ocorrem bifurcações saddle-node simétricas: para
surgem ou desaparecem dois equilíbrios não triviais (um estável e um instável) em cada par
.
Resposta
O sistema exibe em
um pitchfork subcrítico no equilíbrio
. Além disso, para cada solução positiva
de
há uma bifurcação saddle-node em
, criando ou destruindo pares de pontos de equilíbrio simétricos.