Problema 5 Caracterize as bifurcações dos seguintes sistemas dinâmicos com relação à variação do parâmetro μ :
$ \dot{x}=μ x-operatorname{sen} x$

Passo 1

Enunciado e conteúdo: temos o sistema unidimensional dot x=mu x - senx. Queremos caracterizar as bifurcações à medida que o parâmetro mu varia, usando análise de pontos de equilíbrio e estabilidade.

Passo 2

Equilíbrios: resolvemos mu x - senx=0. Logo
x=0,
ou, para xneq0,
mu=senxx

Passo 3

Assim, existe sempre o equilíbrio trivial x=0 e equilíbrios não triviais definidos pela curva h(x)=sin x/x.

Passo 4

Estabilidade e bifurcação em x=0: a derivada de f(x)=mu x-sin x em 0 é
f'(0)=mu-cos0=mu-1

Passo 5

Para mu<1, f'(0)<0 e x=0 é atraente; para mu>1, f'(0)>0 e x=0 é repulsor. Em mu=1 ocorre mudança de estabilidade. Para identificar o tipo de bifurcação, fazemos expansão
sin x= x - x^36 + O(x^5),

Passo 6

logo
dot x = (mu-1)x + x^36 + O(x^5)

Passo 7

Essa é a forma normal de um ponto de bifurcação do tipo pitchfork subcrítico em mu=1: aparecem, para mu<1, dois pontos de equilíbrio simétricos e instáveis que colidem e desaparecem quando muto1^-.

Passo 8

Bifurcações saddle-node nos ramos não triviais: a curva h(x)=sin x/x tem máximos e mínimos locais em pontos xn>0 que satisfazem
tan xn = xn

Passo 9

Nos valores
mun = sin xnxn,

Passo 10

ocorrem bifurcações saddle-node simétricas: para mu surgem ou desaparecem dois equilíbrios não triviais (um estável e um instável) em cada par pm xn.

Resposta

O sistema exibe em mu=1 um pitchfork subcrítico no equilíbrio x=0. Além disso, para cada solução positiva xn de tan xn=xn há uma bifurcação saddle-node em mun=sin xn/xn, criando ou destruindo pares de pontos de equilíbrio simétricos.

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