Problema 9) Conisderando a produçäo de raios X como um processo inverso ao efeito fotoelétrico, responda aos itens a seguir:
(a) Qual é a diferença de potencial mínima entre o filamento e o alvo de um tubo de
raios X para que o tubo possa produzir raios
X com comprimento de onda igual a 0,150 nm?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a diferença de potencial mínima entre o filamento e o alvo de um tubo de raios X para que o tubo produza fótons com comprimento de onda \lambda=0{,}150\\ \text{nm}. Informação dada:
\lambda=0{,}150\\ \text{nm}.

Passo 2

Ideia física que vamos usar (sem resolver ainda): um elétron acelerado por uma diferença de potencial V adquire energia cinética igual a eV, onde e é a carga elementar. Um fóton de comprimento de onda \lambda tem energia dada por \,E=\dfrac{hc}{\lambda}\,, onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz. Para produzir um fóton com comprimento de onda \lambda o elétron precisa ter, no mínimo, energia cinética igual à energia do fóton, ou seja:
eV_{\min}=\frac{hc}{\lambda}.
Daí isolamos V_{\min}:
V_{\min}=\frac{hc}{e\,\lambda}.

Passo 3

Vou explicitar os valores das constantes e converter \lambda para o Sistema Internacional:
  • h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s} (constante de Planck).
  • c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} (velocidade da luz).
  • e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{C} (carga do elétron).
  • \lambda=0{,}150\\ \text{nm}=0{,}150\times10^{-9}\\ \text{m}=1{,}50\times10^{-10}\\ \text{m}.

Passo 4

Agora calculamos passo a passo a expressão para V_{\min}.
Primeiro o produto hc:
hc = \left(6{,}62607015\times10^{-34}\right)\cdot\left(2{,}99792458\times10^{8}\right) =1{,}98644586\times10^{-25}\\ \text{J}\cdot\text{m}.
Em seguida dividimos por e para obter hc/e:
\frac{hc}{e}=\frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{1{,}602176634\times10^{-19}} =1{,}239841984\times10^{-6}\\ \text{V}\cdot\text{m}.
Finalmente dividimos por \lambda (em metros) para obter V_{\min}:
V_{\min}=\frac{1{,}239841984\times10^{-6}}{1{,}50\times10^{-10}} =8{,}26561323\times10^{3}\\ \text{V}.
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com \lambda=0{,}150\\ \text{nm}):
V_{\min}\approx8{,}27\times10^{3}\\ \text{V}=8{,}27\\ \text{kV}.

Passo 5

Interpretação curta e encorajamento: isso significa que, para obter fótons com \lambda=0{,}150\\ \text{nm}, é preciso acelerar os elétrons com uma diferença de potencial de aproximadamente 8{,}27\\ \text{kV}. Calma — a conta é sempre essa na prova: transformar \lambda em energia hc/\lambda e igualar a eV. Dá pra decorar a rotina e aplicar rápido na hora.

Resposta

\;V_{\min}=8{,}27\times10^{3}\\ \text{V}

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