Problema 1 Considerando os parâmetros dados como números reais, encontre os pontos fixos dos seguintes sistemas dinâmicos:
, com
.
Passo 1
Estamos lidando com um sistema dinâmico em $(x,y,z)$ e queremos encontrar os pontos fixos, ou seja, os valores de $(x,y,z)$ tais que $\dot x=\dot y=\dot z=0$. O conteúdo aqui é achar pontos de equilíbrio de um sistema, e vamos precisar usar a definição de ponto fixo (zerar as derivadas), a propriedade de valor absoluto $|u|=a\implies u=\pm a$ e resolver a equação $x z^2=0$ por casos.
Passo 2
Escrevemos o sistema de equações a resolver impondo
Passo 3
Da terceira equação $x z^2=0$ temos dois casos principais:
Passo 4
Caso (i): $x=0$. Então da primeira equação $|y-0|=a$ vem $y=\pm a$. E da segunda $b-y+z=0$ obtemos $z=y-b$. Assim os pontos são $ (0,a,a-b)$ e $ (0,-a,-a-b)$.
Passo 5
Caso (ii): $z=0$. Então da segunda equação $b-y+0=0$ obtemos $y=b$. E da primeira $|b-x|=a$ segue $x=b\pm a$. Logo os pontos são $ (b+a,b,0)$ e $ (b-a,b,0)$.
Resposta
Os pontos fixos são:
(0,,a,,a - b),\quad (0,,-a,,-a - b),\quad (b + a,,b,,0),\quad (b - a,,b,,0)
(0,,a,,a - b),\quad (0,,-a,,-a - b),\quad (b + a,,b,,0),\quad (b - a,,b,,0)