Problema 3 Em cada item abaixo, escreva o sistema linear na forma de uma Equação Matricial do tipo A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}, onde \boldsymbol{x} e \boldsymbol{b} são matrizes coluna.
\left\{\begin{array}{rlr}5 x_{1}-x_{2}+x_{3} & = & -4 \\\\ 6 x_{3}+x_{1}+2 x_{2} & = & 0 \\\ x_{3}-x_{1} & = & 3 \\\\ 7 x_{4}+3 x_{1} & = & 5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o sistema linear na forma de uma equação matricial do tipo A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\), onde \(\boldsymbol{x}\) e \(\boldsymbol{b}\) são matrizes coluna. As equações fornecidas são: \[\begin{cases} 5x_{1}-x_{2}+x_{3} = -4,\\[4pt] 6x_{3}+x_{1}+2x_{2} = 0,\\[4pt] x_{3}-x_{1} = 3,\\[4pt] 7x_{4}+3x_{1} = 5. \end{cases}
Lista das informações relevantes que temos: os coeficientes de cada incógnita em cada equação (incluindo coeficiente zero quando uma incógnita não aparece) e os termos independentes (lado direito) -4\], \(0, 3 e 5. A ordem das incógnitas que vamos usar é \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\,.]

Passo 2

Definimos explicitamente o vetor incógnita \boldsymbol{x} (na ordem escolhida) e o vetor dos termos independentes \boldsymbol{b}:
\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]0\\[4pt]3\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Explicação didática: cada linha de \boldsymbol{b} corresponde ao lado direito da equação respectiva. A posição das incógnitas em \boldsymbol{x} fixa a ordem dos coeficientes nas linhas da matriz A.]

Passo 3

Extraímos os coeficientes de cada equação, sempre na ordem \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\,, e colocamos coeficiente 0 quando a incógnita não aparece.
  • Da primeira equação 5x_{1}-x_{2}+x_{3} = -4 obtemos os coeficientes \,5,\,-1,\,1,\,0\, (note que x_{4} não aparece, então coeficiente 0).
  • Da segunda equação 6x_{3}+x_{1}+2x_{2} = 0 reescrevendo na ordem x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} temos coeficientes \,1,\,2,\,6,\,0\,.
  • Da terceira equação x_{3}-x_{1} = 3 reordenando obtemos coeficientes \,-1,\,0,\,1,\,0\, (aqui x_{2} e x_{4} não aparecem).
  • Da quarta equação 7x_{4}+3x_{1} = 5 reordenando obtemos coeficientes \,3,\,0,\,0,\,7\,.
Didática sobre este procedimento: para montar a matriz de coeficientes basta, linha a linha, colocar os coeficientes correspondentes a x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}. Sempre verifique a ordem das incógnitas — trocar a ordem muda a matriz e exige trocar também a ordem em \boldsymbol{x}.

Passo 4

Montamos a matriz A juntando as linhas de coeficientes obtidas:
A=\begin{pmatrix} 5 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 6 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}.
Explicação extra: cada linha de A corresponde a uma equação e cada coluna de A corresponde a uma incógnita na ordem \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\,. Multiplicar A por \boldsymbol{x} combina essas colunas com as incógnitas e produz exatamente o vetor dos termos independentes \boldsymbol{b}.]

Passo 5

Escrevemos finalmente a equação matricial que representa o sistema:
A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b},
onde A, \boldsymbol{x} e \boldsymbol{b} são os que construímos nos passos anteriores. Se multiplicarmos A por \boldsymbol{x} obtemos, componente a componente, as mesmas equações iniciais (confira substituindo as entradas da multiplicação linha-por-coluna).

Resposta

\begin{pmatrix} 5 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 6 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\[4pt]0\\[4pt]3\\[4pt]5\end{pmatrix}]

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