Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Duas bolas são retiradas simultaneamente.
(a) Obtenha a função de distribuição acumulada da multiplicação dos números retirados. Qual modelo de distribuição você obteve?
(b) Dado que a multiplicação dos números observados é pelo menos 6 , qual a probabilidade de que a multiplicação seja exatamente igual a 15 ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
Informação dada: Uma urna contém as bolas numeradas de 1 a 5. Duas bolas são retiradas simultaneamente (ou seja, sem ordem e sem reposição).
Pergunta (a): Obter a função de distribuição acumulada da multiplicação dos números retirados e dizer qual modelo de distribuição foi obtido.
Pergunta (b): Sabendo que a multiplicação observada é pelo menos 6, qual a probabilidade de que a multiplicação seja exatamente 15?
Passo 2
Vamos identificar o espaço amostral (todas as retiradas possíveis). Como as bolas são retiradas simultaneamente, cada resultado é um par não ordenado de números distintos de 1 a 5. O número de pares possíveis é
\binom{5}{2}=10,
logo há 10 resultados igualmente prováveis (cada par tem probabilidade 1/10). Vou listar todos os pares para trabalhar com os produtos.
Passo 3
Liste dos pares distintos e seus produtos (peguei estes dados simplesmente enumerando as combinações de dois elementos do conjunto \{1,2,3,4,5\}):
Portanto os possíveis valores da variável aleatória “produto” são
\{2,3,4,5,6,8,10,12,15,20\},
cada um obtido por exatamente um par, logo cada valor tem probabilidade 1/10.
Passo 4
Explico o que é função de distribuição acumulada (CDF) neste contexto. Para uma variável aleatória discreta X, a função de distribuição acumulada F_X(x) é definida por
F_X(x)=P(X\le x).
Como temos uma distribuição discreta com valores listados no passo anterior, F_X(x) será uma função em degraus que aumenta em 1/10 em cada valor possível do produto.
Passo 5
Agora construo explicitamente F_X(x). Ela vale 0 para x<2 e aumenta em passos de 1/10 em cada valor listado. Escrevo a função de forma peça a peça:
Comento sobre o modelo de distribuição obtido. Como cada um dos 10 valores possíveis do produto ocorre com a mesma probabilidade \dfrac{1}{10}, tratamos de uma distribuição discreta uniforme sobre o conjunto de pontos
\{2,3,4,5,6,8,10,12,15,20\}.
Ou seja, é uma distribuição discreta em que todos os valores possíveis têm probabilidade igual.
Passo 7
Agora resolvo a parte (b) (probabilidade condicional) e explico a fórmula. A probabilidade condicional P(A\mid B) é dada por
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui A = "produto =15" e B = "produto \ge 6". Como 15\ge6, temos A\cap B=A, então
Calculo as probabilidades necessárias. Já sabemos que cada produto tem probabilidade \dfrac{1}{10}. O evento “\text{produto}=15” tem probabilidade
P(\text{produto}=15)=\dfrac{1}{10}.
O evento “\text{produto}\ge6” corresponde aos valores \{6,8,10,12,15,20\}, que são 6 resultados entre os 10, logo
P(\text{produto}\ge6)=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}.
Portanto a probabilidade condicional é
\frac{\tfrac{1}{10}}{\tfrac{6}{10}}=\frac{1}{6}.
Passo 9
Resumo final e palavra de ânimo: concluímos a CDF por passos, vimos que a distribuição é discreta uniforme sobre os produtos possíveis e que a probabilidade procurada na parte (b) é \tfrac{1}{6}. Força aí — ficou um problema direto depois de enumerar os pares; esse processo de listar e contar é seu melhor amigo nas provas!