Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Duas bolas são retiradas simultaneamente.
(a) Obtenha a função de distribuição acumulada da multiplicação dos números retirados. Qual modelo de distribuição você obteve?
(b) Dado que a multiplicação dos números observados é pelo menos 6 , qual a probabilidade de que a multiplicação seja exatamente igual a 15 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação dada: Uma urna contém as bolas numeradas de 1 a 5. Duas bolas são retiradas simultaneamente (ou seja, sem ordem e sem reposição).
  • Pergunta (a): Obter a função de distribuição acumulada da multiplicação dos números retirados e dizer qual modelo de distribuição foi obtido.
  • Pergunta (b): Sabendo que a multiplicação observada é pelo menos 6, qual a probabilidade de que a multiplicação seja exatamente 15?

Passo 2

Vamos identificar o espaço amostral (todas as retiradas possíveis). Como as bolas são retiradas simultaneamente, cada resultado é um par não ordenado de números distintos de 1 a 5. O número de pares possíveis é
\binom{5}{2}=10,
logo há 10 resultados igualmente prováveis (cada par tem probabilidade 1/10). Vou listar todos os pares para trabalhar com os produtos.

Passo 3

Liste dos pares distintos e seus produtos (peguei estes dados simplesmente enumerando as combinações de dois elementos do conjunto \{1,2,3,4,5\}):
\begin{aligned} &(1,2)\to 2,\\\ &(1,3)\to 3,\\\ &(1,4)\to 4,\\\ &(1,5)\to 5,\\\ &(2,3)\to 6,\\\ &(2,4)\to 8,\\\ &(2,5)\to 10,\\\ &(3,4)\to 12,\\\ &(3,5)\to 15,\\\ &(4,5)\to 20. \end{aligned}
Portanto os possíveis valores da variável aleatória “produto” são
\{2,3,4,5,6,8,10,12,15,20\},
cada um obtido por exatamente um par, logo cada valor tem probabilidade 1/10.

Passo 4

Explico o que é função de distribuição acumulada (CDF) neste contexto. Para uma variável aleatória discreta X, a função de distribuição acumulada F_X(x) é definida por
F_X(x)=P(X\le x).
Como temos uma distribuição discreta com valores listados no passo anterior, F_X(x) será uma função em degraus que aumenta em 1/10 em cada valor possível do produto.

Passo 5

Agora construo explicitamente F_X(x). Ela vale 0 para x<2 e aumenta em passos de 1/10 em cada valor listado. Escrevo a função de forma peça a peça:
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<2,\\[4pt] \dfrac{1}{10}, & 2\le x<3,\\[6pt] \dfrac{2}{10}, & 3\le x<4,\\[6pt] \dfrac{3}{10}, & 4\le x<5,\\[6pt] \dfrac{4}{10}, & 5\le x<6,\\[6pt] \dfrac{5}{10}, & 6\le x<8,\\[6pt] \dfrac{6}{10}, & 8\le x<10,\\[6pt] \dfrac{7}{10}, & 10\le x<12,\\[6pt] \dfrac{8}{10}, & 12\le x<15,\\[6pt] \dfrac{9}{10}, & 15\le x<20,\\[6pt] 1, & x\ge 20. \end{cases}]

Passo 6

Comento sobre o modelo de distribuição obtido. Como cada um dos 10 valores possíveis do produto ocorre com a mesma probabilidade \dfrac{1}{10}, tratamos de uma distribuição discreta uniforme sobre o conjunto de pontos
\{2,3,4,5,6,8,10,12,15,20\}.
Ou seja, é uma distribuição discreta em que todos os valores possíveis têm probabilidade igual.

Passo 7

Agora resolvo a parte (b) (probabilidade condicional) e explico a fórmula. A probabilidade condicional P(A\mid B) é dada por
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui A = "produto =15" e B = "produto \ge 6". Como 15\ge6, temos A\cap B=A, então
P(\text{produto}=15\mid \text{produto}\ge6)=\frac{P(\text{produto}=15)}{P(\text{produto}\ge6)}.

Passo 8

Calculo as probabilidades necessárias. Já sabemos que cada produto tem probabilidade \dfrac{1}{10}. O evento “ \text{produto}=15” tem probabilidade
P(\text{produto}=15)=\dfrac{1}{10}.
O evento “ \text{produto}\ge6” corresponde aos valores \{6,8,10,12,15,20\}, que são 6 resultados entre os 10, logo
P(\text{produto}\ge6)=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}.
Portanto a probabilidade condicional é
\frac{\tfrac{1}{10}}{\tfrac{6}{10}}=\frac{1}{6}.

Passo 9

Resumo final e palavra de ânimo: concluímos a CDF por passos, vimos que a distribuição é discreta uniforme sobre os produtos possíveis e que a probabilidade procurada na parte (b) é \tfrac{1}{6}. Força aí — ficou um problema direto depois de enumerar os pares; esse processo de listar e contar é seu melhor amigo nas provas!

Resposta

(a) F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<2,\\[4pt] \dfrac{1}{10}, & 2\le x<3,\\[6pt] \dfrac{2}{10}, & 3\le x<4,\\[6pt] \dfrac{3}{10}, & 4\le x<5,\\[6pt] \dfrac{4}{10}, & 5\le x<6,\\[6pt] \dfrac{5}{10}, & 6\le x<8,\\[6pt] \dfrac{6}{10}, & 8\le x<10,\\[6pt] \dfrac{7}{10}, & 10\le x<12,\\[6pt] \dfrac{8}{10}, & 12\le x<15,\\[6pt] \dfrac{9}{10}, & 15\le x<20,\\[6pt] 1, & x\ge 20. \end{cases}
Modelo: distribuição discreta uniforme sobre \{2,3,4,5,6,8,10,12,15,20\}.
(b) \dfrac{1}{6}]

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