Problema 3: Considere um sistem: conservativo de uma partícula com energia potencial
(a) Identifique os pontos nos quais a forca resultante sobre a partícula se anula.
(b) Obtenha a expansão de Taylor de
até segunda ordem em
numa vizinhança de
expresse a força resultante sobre a partícula como uma função de
.
(c) Considere uma partícula com energia mecânica
numa vizinhança do ponto
. Obtenha
.
- Séver se taylor
1
(b) Obtenha a expansão de Taylor de
(c) Considere uma partícula com energia mecânica
1
Passo 1
Beleza, o enunciado tá falando de um sistema conservativo com energia potencial
Precisamos fazer três coisas: identificar onde a força resultante anula (equilíbrios), expandir essa função em série de Taylor até 2ª ordem em volta de
e achar a expressão da força aproximada, e por fim, considerando energia mecânica
perto de
, encontrar a solução
. Vamos usar derivadas pra achar equilíbrio, Taylor pra aproximar e teoria de pequenas oscilações pra achar
.
Passo 2
Pra achar onde a força some (parte a), lembrando que
calculamos
Então colocamos zero:
logo os equilíbrios são
e
.
Passo 3
Agora a expansão de Taylor até a 2ª ordem em torno de
(parte b). A fórmula é
Como já vimos
, só sobra termo constante e quadrático. Calculando
fica
A força aproximada é
Passo 4
Por fim, pra parte (c) usamos a equação de movimento perto de
:
que é um oscilador harmônico do tipo
com frequência natural
. A solução geral é
Se a energia total for
, temos
logo a amplitude
Assim
Resposta
a) Pontos de equilíbrio: x=0 e x=8/3. b) Expansão de Taylor: U(x)≈(x–8/3)^2 e F(x)≈–2(x–8/3). c) Solução temporal: x(t)=8/3+√E·cos(√(2/m)·t+φ).