Problema 3: Considere um sistem: conservativo de uma partícula com energia potencial
U(x)=x^34-x^2+6427
(a) Identifique os pontos nos quais a forca resultante sobre a partícula se anula.
(b) Obtenha a expansão de Taylor de U(x) até segunda ordem em x numa vizinhança de barx=8 / 3 e expresse a força resultante sobre a partícula como uma função de x.
(c) Considere uma partícula com energia mecânica E numa vizinhança do ponto x=barx. Obtenha x(t).
  • Séver se taylor
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Passo 1

Beleza, o enunciado tá falando de um sistema conservativo com energia potencial
U(x)=x^34-x^2+6427
Precisamos fazer três coisas: identificar onde a força resultante anula (equilíbrios), expandir essa função em série de Taylor até 2ª ordem em volta de bar x=8/3 e achar a expressão da força aproximada, e por fim, considerando energia mecânica E perto de bar x, encontrar a solução x(t). Vamos usar derivadas pra achar equilíbrio, Taylor pra aproximar e teoria de pequenas oscilações pra achar x(t).

Passo 2

Pra achar onde a força some (parte a), lembrando que
F(x)=-U'(x),
calculamos
U'(x)=3x^24-2x
Então colocamos zero:
3x^24-2x=0 Longrightarrow xl(3x-8r)=0,
logo os equilíbrios são x=0 e x=8/3.

Passo 3

Agora a expansão de Taylor até a 2ª ordem em torno de bar x=8/3 (parte b). A fórmula é
U(x)approx U(bar x)+U'(bar x)(x-bar x)+tfrac12U''(bar x)(x-bar x)^2
Como já vimos U'(8/3)=0, só sobra termo constante e quadrático. Calculando
U(8/3)=0, U''(x)=tfrac3x2-2, U''(8/3)=2,
fica
U(x)approx tfrac12cdot2,(x-8/3)^2=(x-8/3)^2
A força aproximada é
F(x)approx -U''(8/3),(x-8/3)=-2,(x-8/3)

Passo 4

Por fim, pra parte (c) usamos a equação de movimento perto de bar x:
m,ddot x=F(x)approx-2,(x-8/3),
que é um oscilador harmônico do tipo
ddot x+2m(x-8/3)=0,
com frequência natural omega=raiz2/m. A solução geral é
x(t)=83+Acosl(omega t+phir)
Se a energia total for E, temos
E=tfrac12mdot x^2+tfrac12k(x-8/3)^2, k=2,
logo a amplitude
A=raiz2Ek=raiz2E2=raizE
Assim
x(t)=83+raizEcosl(raiztfrac2m,t+phir)

Resposta

a) Pontos de equilíbrio: x=0 e x=8/3. b) Expansão de Taylor: U(x)≈(x–8/3)^2 e F(x)≈–2(x–8/3). c) Solução temporal: x(t)=8/3+√E·cos(√(2/m)·t+φ).

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