Problema 3: Considere um sistema conservativo de uma partícula com energia potencial
U(x)=A x^3+B x^2+C
onde A, B e C são parâmetros constantes.
(a) Identifique os pontos nos quais a força resultante sobre a partícula se anula.
(b) Obtenha a expansão de Taylor de U(x) até segunda ordem em x numa vizinhança dos pontos obtidos no item (a).
(c) Expresse a força resultante sobre uma partícula numa vizinhança desses pontos como uma função de x.
(d) Para B>0, obtenha x(t) para uma partícula de massa m numa vizinhança de $\bar{x}=0.

Passo 1

A gente tem um sistema conservativo com potencial U(x)=Ax^3+Bx^2+C. Precisamos achar: (a) os pontos de equilíbrio (onde a força se anula), (b) a expansão de Taylor de U(x) até 2ª ordem em torno desses pontos, (c) a expressão da força próxima a eles e (d) a solução x(t) para B>0 perto de bar x=0.

Passo 2

A força resultante é F=-dfracdUdx. Primeiro calculo
U'(x)=3Ax^2+2Bx
então
F(x)=-l(3Ax^2+2Bxr)=-xl(3A x+2Br)
Logo, os pontos de equilíbrio satisfazem F=0, ou seja x=0 ou 3Ax+2B=0, isto é x=-tfrac2B3A

Passo 3

Para a expansão de Taylor até 2ª ordem em torno de um ponto de equilíbrio x0 usamos
U(x)approx U(x0)+U'(x0)(x-x0)+tfrac12U''(x0)(x-x0)^2
Como U'(x0)=0, resta calcular
U''(x)=6Ax+2B
e avaliar em cada x0:
  • Em x0=0: U''(0)=2B, então
U(x)approx C+tfrac12cdot2B,x^2=C+Bx^2
  • Em x0=-tfrac2B3A:
U''l(-tfrac2B3Ar)=6Al(-tfrac2B3Ar)+2B=-4B+2B=-2B,
além de
Ul(-tfrac2B3Ar)=Al(-tfrac2B3Ar)^3+Bl(-tfrac2B3Ar)^2+C=tfrac4B^327A^2+C
Logo, com y=x+tfrac2B3A,
U(x)approxl(C+tfrac4B^327A^2r)-B,y^2

Passo 4

Perto de cada equilíbrio, a força pode ser aproximada por
Fapprox- U''(x0),(x-x0)
Isso dá
  • Em x0=0: Fapprox-2B,x
  • Em x0=-tfrac2B3A: Fapprox-(-2B),(x+tfrac2B3A)=2B,(x+tfrac2B3A)

Passo 5

Para B>0 e pequenas oscilações em torno de bar x=0, a equação de movimento é
mddot x=-2B,x
o que é um oscilador harmônico com frequência
omega=raiztfrac2Bm
A solução geral é
x(t)=C1cosl(omega tr)+C2sinl(omega tr)
ou, equivalentemente,
x(t)=Acosl(omega t+phir)

Resposta

a) Os equilíbrios estão em x=0 e x=-tfrac2B3A
b) Em torno de x0=0: Uapprox C+Bx^2 Em torno de x0=-tfrac2B3A: Uapproxl(C+tfrac4B^327A^2r)-B,(x+tfrac2B3A)^2
c) Perto de 0: Fapprox-2B,x Perto de -tfrac2B3A: Fapprox2B,(x+tfrac2B3A)
d) Para B>0 em torno de 0: x(t)=C1cos(raiz2B/m,t)+C2sin(raiz2B/m,t), ou x(t)=Acos(raiz2B/m,t+phi)

Exercícios relacionados