Problema 3: Considere um sistema conservativo de uma partícula com energia potencial
onde
e
são parâmetros constantes.
(a) Identifique os pontos nos quais a força resultante sobre a partícula se anula.
(b) Obtenha a expansão de Taylor de
até segunda ordem em
numa vizinhança dos pontos obtidos no item (a).
(c) Expresse a força resultante sobre uma partícula numa vizinhança desses pontos como uma função de
.
(d) Para
, obtenha
para uma partícula de massa
numa vizinhança de $\bar{x}=0.
(a) Identifique os pontos nos quais a força resultante sobre a partícula se anula.
(b) Obtenha a expansão de Taylor de
(c) Expresse a força resultante sobre uma partícula numa vizinhança desses pontos como uma função de
(d) Para
Passo 1
A gente tem um sistema conservativo com potencial
. Precisamos achar: (a) os pontos de equilíbrio (onde a força se anula), (b) a expansão de Taylor de
até 2ª ordem em torno desses pontos, (c) a expressão da força próxima a eles e (d) a solução
para
perto de
.
Passo 2
A força resultante é
. Primeiro calculo
então
Logo, os pontos de equilíbrio satisfazem
, ou seja
ou
, isto é
Passo 3
Para a expansão de Taylor até 2ª ordem em torno de um ponto de equilíbrio
usamos
Como
, resta calcular
e avaliar em cada
:
- Em
: , então
- Em
:
além de
Logo, com
,
Passo 4
Perto de cada equilíbrio, a força pode ser aproximada por
Isso dá
- Em
: - Em
:
Passo 5
Para
e pequenas oscilações em torno de
, a equação de movimento é
o que é um oscilador harmônico com frequência
A solução geral é
ou, equivalentemente,
Resposta
a) Os equilíbrios estão em
e
b) Em torno de :
Em torno de
:
c) Perto de :
Perto de
:
d) Para em torno de
:
, ou
b) Em torno de
c) Perto de
d) Para