108 Um capacitor de capacitância C0, depois de permanecer ligado a uma fonte de força eletromotriz mathscrE0 por um longo tempo, começa a ser descarregado através de uma resistor de 200000 Omega
no instante t=0. A diferença de potencial entre os terminais do capacitor é medida para vários instantes de tempo; os resultados são mostrados na tabela a seguir. (a) Escreva uma equação para a diferença de potencial entre os terminais do capacitor em função do tempo. Entre com os dados em uma calculadora científica e execute uma regressão linear de ln VC em função de t. A partir dos resultados obtidos, determine (b) a força eletromotriz mathscrE0 da bateria e (c) a constante de tempo tau do circuito. (d) Finalmente, determine o valor da capacitância C0.
\begin{tabular}{llllllll}
\hline VC(V): & 9,9 & 7,2 & 5,7 & 4,4 & 3,4 & 2,7 & 2,0 \
t(s): & 0,20 & 0,40 & 0,60 & 0,80 & 1,0 & 1,2 & 1,4 \
\hline

Passo 1

O enunciado trata da descarga de um capacitor de capacitância C0 através de um resistor R=2times10^5 Omega, a partir do instante t=0, tendo sido inicialmente carregado até a força eletromotriz mathscrE0. Medimos a tensão VC(t) em diferentes tempos e queremos:
– (a) um modelo matemático para VC(t);
– (b) o valor de mathscrE0;
– (c) a constante de tempo tau;
– (d) a capacitância C0.
Conteúdo: circuito RC em descarga, exponencial, linearização por ln VC e regressão linear.

Passo 2

A equação teórica da descarga é
VC(t)=mathscrE0,e^-t/tau,
onde tau=R,C0. Tomando logaritmo natural fica
ln VC(t)=lnmathscrE0-ttau,
ou seja é uma reta ln VC=A+Bt com
A=lnmathscrE0, B=-1tau

Passo 3

Organizando os dados e calculando ln VC:
c|c|c t,(s)&VC,(V)&ln VChline 0,20&9,9&2,293 0,40&7,2&1,974 0,60&5,7&1,740 0,80&4,4&1,481 1,00&3,4&1,228 1,20&2,7&0,993 1,40&2,0&0,693
Fazendo soma dos t, ln VC, tln VC e t^2 e aplicando a fórmula da regressão linear, obtemos
Bapprox -1,299,, Aapprox 2,525

Passo 4

Dos coeficientes da reta:
A=lnmathscrE0implies mathscrE0=e^Aapprox e^2,525approx12,5 V,
B=-1tauimplies tau=-1Bapprox11,299approx0,77 s

Passo 5

Finalmente, como tau=R,C0, isolamos a capacitância:
C0=tauRapprox0,772times10^5approx3,85times10^-6 Fapprox3,8 muF

Resposta

(a) VC(t)=mathscrE0,e^-t/tau
(b) mathscrE0approx12,5 V
(c) tauapprox0,77 s
(d) C0approx3,8 muF

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