Suponha que f é contínua em [a, b] e que f(x) é sempre racional. O que pode ser dito sobre f ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f contínua em [a,b] e que para todo x em [a,b] vale f(x) ∈ ℚ. O conteúdo principal aqui é a continuidade em intervalo e o Teorema do Valor Intermediário, que nos dizem que a imagem de um intervalo conectado por função contínua é um intervalo.

Passo 2

Suponha, para chegar a uma contradição, que f não seja constante. Então existem x₁,x₂ em [a,b] tais que f(x₁)=r₁ e f(x₂)=r₂ com r₁<r₂ (ambos racionais). Pelo Teorema do Valor Intermediário, para qualquer valor c entre r₁ e r₂ existirá ξ em (x₁,x₂) tal que f(ξ)=c.

Passo 3

Como os reais entre r₁ e r₂ contêm irracionais, escolhemos c irracional com r₁<c<r₂. Isso contradiz a hipótese de que f(ξ) deve ser racional. Logo nossa suposição de que f não é constante falha, e f deve ser constante em [a,b].

Resposta

f é uma função constante (com valor racional).

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