Suponha que
é contínua em
e que
é sempre racional. O que pode ser dito sobre
?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função f contínua em [a,b] e que para todo x em [a,b] vale f(x) ∈ ℚ. O conteúdo principal aqui é a continuidade em intervalo e o Teorema do Valor Intermediário, que nos dizem que a imagem de um intervalo conectado por função contínua é um intervalo.
Passo 2
Suponha, para chegar a uma contradição, que f não seja constante. Então existem x₁,x₂ em [a,b] tais que f(x₁)=r₁ e f(x₂)=r₂ com r₁<r₂ (ambos racionais). Pelo Teorema do Valor Intermediário, para qualquer valor c entre r₁ e r₂ existirá ξ em (x₁,x₂) tal que f(ξ)=c.
Passo 3
Como os reais entre r₁ e r₂ contêm irracionais, escolhemos c irracional com r₁<c<r₂. Isso contradiz a hipótese de que f(ξ) deve ser racional. Logo nossa suposição de que f não é constante falha, e f deve ser constante em [a,b].
Resposta
f é uma função constante (com valor racional).