Problema 1 Dada a EDO
(a) (vale 1,0) Diga a ordem da EDO e mostre que tal EDO é Homogênea. Justifique sua resposta
(b) (vale 1,5) A partir do FDO (1) determine uma EDO Separável.
(c) (vale 1.5) Resolva a EDO (1). Resolva de forma organizada!
(b) (vale 1,5) A partir do FDO (1) determine uma EDO Separável.
(c) (vale 1.5) Resolva a EDO (1). Resolva de forma organizada!
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.
Dada a EDO
os itens pedem:
- (a) Dizer a ordem da EDO e mostrar que a EDO é homogênea. Justificar.
- (b) A partir da EDO dada determinar uma EDO separável (ou seja, aplicar a transformação que leva a uma EDO separável).
- (c) Resolver a EDO dada de forma organizada (encontrar a solução geral, discutir soluções singulares/domínios se necessário).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A equação está escrita em termos de
, e . - Não há condições iniciais; pede-se a solução geral.
- Devemos justificar a homogeneidade e obter uma EDO separável antes de resolver.
Passo 2
Determinar a ordem e demonstrar que a EDO é homogênea (justificativa detalhada).
Ordem:
- A ordem de uma EDO é o maior índice de derivada presente.
- Aqui aparece apenas
, que é a primeira derivada de . Portanto a equação é de ordem 1.
Mostrar que é homogênea:
- Escrevemos a equação na forma explícita para
. Partindo de isolamos : Logo - Definimos a função de direito
por - Uma equação do tipo
é dita homogênea (no sentido usual para equações de primeira ordem) se para todo , ou equivalente, se pode ser escrita como função de apenas. - Observamos que
Ou seja, depende somente da razão . - Portanto
é homogênea (pois é função de apenas). Isso conclui a justificativa da homogeneidade.
Passo 3
Transformação padrão para equações homogêneas:
. Derivar a EDO para
.
- Para explorar a dependência em
usamos a substituição clássica onde é função de : . - Calculamos
em termos de e . Usando produto: Explico: derivada de é . - Substituímos
e na forma . Pela expressão obtida no passo anterior: - Simplificando, os termos
cancelam: - Esta é a EDO para
. Observe que agora a EDO é separável (todas as termos em numa lado e no outro).
Passo 4
Transformar a EDO para forma separável e integrar passo a passo.
- A EDO obtida foi
- Escrevemos de forma separável: dividir ambos os lados por
(atenção ao caso , que será tratado depois) e por : - Integramos ambos os lados:
- Calculamos as integrais. Lembre que
e . Assim: onde é a constante de integração (podemos consolidar constantes). - Multiplicando por
obtemos em que definimos (ou seja, renomeamos a constante). - Portanto
Passo 5
Voltar à variável
e escrever a solução geral; tratar casos singulares e domínio.
- Lembrando que
, obtemos a solução geral explícita: Multiplicando por , Aqui é a constante arbitrária de integração. - Observações importantes:
- A solução acima exige
(caso contrário o denominador anula-se e a expressão explodiria). - O domínio natural da solução é em intervalos onde
não muda de sinal e onde , porque usamos e também dividimos por ao fazer . Portanto as soluções são definidas em intervalos contidos em ou , evitando pontos onde .
- A solução acima exige
- Caso singular
(ou seja ): - Se
então . Verificamos na equação original: que é satisfeito. Portanto é uma solução (solução trivial) não obtida pela fórmula para qualquer valor finito de . Logo devemos mencioná-la separadamente.
- Se
- Resumo das soluções gerais:
- Solução não trivial:
, com constante arbitrária e domínio onde e . - Solução trivial:
.
- Solução não trivial:
Passo 6
Verificação rápida (checar que a solução realmente satisfaz a EDO).
- Tomemos a solução não trivial
. Defina para simplificar notação, então . - Calculemos
usando quociente: pois . - Agora avaliamos o lado esquerdo da equação original em forma
. Calculamos o lado direito com : - Como os dois lados coincidem, a solução está verificada. A solução
também verifica a equação como já mostrado.