Problema 1 Dada a EDO
i^{2} \frac{d y}{d x}-x y+y^{2} x \neq 0 .
(a) (vale 1,0) Diga a ordem da EDO e mostre que tal EDO é Homogênea. Justifique sua resposta
(b) (vale 1,5) A partir do FDO (1) determine uma EDO Separável.
(c) (vale 1.5) Resolva a EDO (1). Resolva de forma organizada!

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
Dada a EDO
x^{2}\frac{dy}{dx}-x y+y^{2}=0,
os itens pedem:
  1. (a) Dizer a ordem da EDO e mostrar que a EDO é homogênea. Justificar.
  2. (b) A partir da EDO dada determinar uma EDO separável (ou seja, aplicar a transformação que leva a uma EDO separável).
  3. (c) Resolver a EDO dada de forma organizada (encontrar a solução geral, discutir soluções singulares/domínios se necessário).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação está escrita em termos de x, y e dy/dx.
  • Não há condições iniciais; pede-se a solução geral.
  • Devemos justificar a homogeneidade e obter uma EDO separável antes de resolver.

Passo 2

Determinar a ordem e demonstrar que a EDO é homogênea (justificativa detalhada).
Ordem:
  • A ordem de uma EDO é o maior índice de derivada presente.
  • Aqui aparece apenas \frac{dy}{dx}, que é a primeira derivada de y. Portanto a equação é de ordem 1.
Mostrar que é homogênea:
  • Escrevemos a equação na forma explícita para \frac{dy}{dx}. Partindo de x^{2}\frac{dy}{dx}-x y+y^{2}=0,isolamos \frac{dy}{dx}: x^{2}\frac{dy}{dx}=x y - y^{2}.Logo \frac{dy}{dx}=\frac{x y - y^{2}}{x^{2}}.
  • Definimos a função de direito F(x,y) por F(x,y)=\frac{x y - y^{2}}{x^{2}}.
  • Uma equação do tipo \frac{dy}{dx}=F(x,y) é dita homogênea (no sentido usual para equações de primeira ordem) se F(tx,ty)=F(x,y) para todo t\neq0, ou equivalente, se F pode ser escrita como função de y/x apenas.
  • Observamos que F(x,y)=\frac{x y}{x^{2}}-\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{y}{x}-\Big(\frac{y}{x}\Big)^{2}.Ou seja, F(x,y) depende somente da razão y/x.
  • Portanto \frac{dy}{dx}=F(x,y) é homogênea (pois F é função de y/x apenas). Isso conclui a justificativa da homogeneidade.

Passo 3

Transformação padrão para equações homogêneas: y=vx. Derivar a EDO para v.
  • Para explorar a dependência em y/x usamos a substituição clássica y=vx,onde v é função de x: v=v(x).
  • Calculamos \frac{dy}{dx} em termos de v e dv/dx. Usando produto: \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(v x) = v + x\frac{dv}{dx}.Explico: derivada de vx é v\cdot d(x)/dx + x\cdot dv/dx = v + x\,dv/dx.
  • Substituímos y=vx e \frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx} na forma \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\big(\frac{y}{x}\big)^{2}. Pela expressão obtida no passo anterior: v + x\frac{dv}{dx} = v - v^{2}.
  • Simplificando, os termos v cancelam: x\frac{dv}{dx} = -v^{2}.
  • Esta é a EDO para v(x). Observe que agora a EDO é separável (todas as termos em v numa lado e x no outro).

Passo 4

Transformar a EDO para forma separável e integrar passo a passo.
  • A EDO obtida foi x\frac{dv}{dx} = -v^{2}.
  • Escrevemos de forma separável: dividir ambos os lados por v^{2} (atenção ao caso v=0, que será tratado depois) e por x: \frac{1}{v^{2}}\,dv = -\frac{1}{x}\,dx.
  • Integramos ambos os lados: \int \frac{1}{v^{2}}\,dv = -\int \frac{1}{x}\,dx.
  • Calculamos as integrais. Lembre que \int v^{-2} dv = -v^{-1} + C e \int x^{-1} dx = \ln\lvert x\rvert + C. Assim: -\frac{1}{v} = -\ln\lvert x\rvert + C,onde C é a constante de integração (podemos consolidar constantes).
  • Multiplicando por -1 obtemos \frac{1}{v} = \ln\lvert x\rvert - C = \ln\lvert x\rvert + C_{1},em que definimos C_{1}=-C (ou seja, renomeamos a constante).
  • Portanto v = \frac{1}{\ln\lvert x\rvert + C_{1}}.

Passo 5

Voltar à variável y e escrever a solução geral; tratar casos singulares e domínio.
  • Lembrando que v=\dfrac{y}{x}, obtemos a solução geral explícita: \frac{y}{x} = \frac{1}{\ln\lvert x\rvert + C_{1}}.Multiplicando por x, y = \frac{x}{\ln\lvert x\rvert + C_{1}}.Aqui C_{1} é a constante arbitrária de integração.
  • Observações importantes:
    • A solução acima exige \ln\lvert x\rvert + C_{1}\neq 0 (caso contrário o denominador anula-se e a expressão explodiria).
    • O domínio natural da solução é em intervalos onde \ln\lvert x\rvert + C_{1} não muda de sinal e onde x\neq 0, porque usamos \ln\lvert x\rvert e também dividimos por x ao fazer v=y/x. Portanto as soluções são definidas em intervalos contidos em (-\infty,0) ou (0,\infty), evitando pontos onde \ln\lvert x\rvert + C_{1}=0.
  • Caso singular v=0 (ou seja y\equiv 0):
    • Se v\equiv 0 então y\equiv 0. Verificamos na equação original: x^{2}\frac{d(0)}{dx} - x\cdot 0 + 0^{2} = 0,que é satisfeito. Portanto y\equiv 0 é uma solução (solução trivial) não obtida pela fórmula y=\dfrac{x}{\ln\lvert x\rvert + C_{1}} para qualquer valor finito de C_{1}. Logo devemos mencioná-la separadamente.
  • Resumo das soluções gerais:
    • Solução não trivial: \displaystyle y=\frac{x}{\ln\lvert x\rvert + C}, com constante C arbitrária e domínio onde \ln\lvert x\rvert + C\neq0 e x\neq0.
    • Solução trivial: \displaystyle y\equiv 0.

Passo 6

Verificação rápida (checar que a solução realmente satisfaz a EDO).
  • Tomemos a solução não trivial y=\dfrac{x}{\ln\lvert x\rvert + C}. Defina D(x)=\ln\lvert x\rvert + C para simplificar notação, então y = x/D.
  • Calculemos \dfrac{dy}{dx} usando quociente: \frac{dy}{dx}=\frac{D\cdot 1 - x\cdot D'}{D^{2}}=\frac{D - x\cdot (1/x)}{D^{2}}=\frac{D - 1}{D^{2}},pois D'=\dfrac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = 1/x.
  • Agora avaliamos o lado esquerdo da equação original em forma \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x y - y^{2}}{x^{2}}. Calculamos o lado direito com y=x/D: \frac{x y - y^{2}}{x^{2}}=\frac{x\cdot (x/D) - (x/D)^{2}}{x^{2}}=\frac{x^{2}/D - x^{2}/D^{2}}{x^{2}}=\frac{1}{D}-\frac{1}{D^{2}}=\frac{D-1}{D^{2}}.
  • Como os dois lados coincidem, a solução está verificada. A solução y\equiv0 também verifica a equação como já mostrado.

Resposta

\displaystyle y\equiv 0.
\displaystyle y=\frac{x}{\ln\lvert x\rvert + C},\quad C\in\mathbb{R}, definido em intervalos onde \ln\lvert x\rvert + C\neq 0 e x\neq 0.

Exercícios relacionados