Problema 2 Dada a EDO
x^{2} \frac{d y}{d x}+4 x^{2} y=e^{-2}
(a) (vale 0,5 ) Diga a ordem da EDO e verifique se tal EDO é Linear. Justifique sua resposta
(b) (vale 2.0) A partir da EDO (2) obtenha uma FDO exata.
(c) (vale 1.5) A partir da EDO obtida, no item (b) desta questão, exiba quem é a função cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo da EDO exata obtida.
(d) (vale 2.0) Resolva a EDO (2). Resolva de forma organizada!

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x^{2}\frac{dy}{dx}+4x^{2}y=e^{-2}.
Perguntas:
(a) Dizer a ordem da EDO e verificar se é linear, com justificativa.
(b) A partir da EDO obter uma FDO exata (ou seja, escrever uma forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 que seja exata).
(c) A partir da FDO exata do item (b) exibir a função cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo (ou seja, encontrar \Phi(x,y) tal que d\Phi=M\,dx+N\,dy).
(d) Resolver a EDO de forma organizada (encontrar a solução geral y(x)).
Informações dadas importantes:
  • A EDO envolve y e sua derivada primeira \frac{dy}{dx}.
  • Presume-se x\neq 0 sempre que dividirmos por x^{2}.
  • A constante e^{-2} aparece no termo fonte da equação.

Passo 2

(a) Ordem e linearidade — explicação e justificativa passo a passo.
Definição curta: a ordem de uma EDO é a ordem da maior derivada presente; uma EDO é linear (de primeira ordem) se pode ser escrita na forma
a_{1}(x)\frac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=b(x),
com a_{1},a_{0},b funções de x apenas (e y e sua derivada aparecendo com expoente 1 e sem produtos não lineares entre si).
Aplicando às nossas expressões:
A equação dada é
x^{2}\frac{dy}{dx}+4x^{2}y=e^{-2}.
  • A maior derivada é \frac{dy}{dx}, ou seja, derivada de ordem 1. Logo a ordem é \,1.
  • Dividindo ambos os lados por x^{2} (válido para x\neq 0) obtemos
\frac{dy}{dx}+4y=e^{-2}x^{-2}.
Isto está na forma y'+p(x)y=q(x) com p(x)=4 e q(x)=e^{-2}x^{-2}. Aqui y e y' aparecem linearmente (potência 1 e sem produtos y\cdot y', y^{2} etc.). Portanto a EDO é linear de primeira ordem.
Resumo do item (a): ordem 1; é linear porque pode ser escrita como y'+4y=e^{-2}x^{-2} com coeficientes só em x.

Passo 3

(b) Obter uma FDO exata — transformar a EDO em forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 exata.
Começo convertendo a EDO para forma diferencial multiplicando por dx:
x^{2}dy+4x^{2}y\,dx=e^{-2}dx.
Colocando tudo no mesmo lado:
\bigl(4x^{2}y-e^{-2}\bigr)\,dx + x^{2}\,dy=0.
Aqui M(x,y)=4x^{2}y-e^{-2} e N(x,y)=x^{2}. Para que esta forma seja exata precisamos ter \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Calculamos:
\frac{\partial M}{\partial y}=4x^{2},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x.
Como 4x^{2}\neq 2x em geral, a forma dada NÃO é exata. Precisamos então de um fator integrante \mu que torne \mu M\,dx+\mu N\,dy exata.
Procuramos um fator integrante que dependa só de x. Uma condição prática é calcular
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{4x^{2}-2x}{x^{2}}=4-\frac{2}{x},
que depende somente de x. Então existe um fator integrante \mu(x) satisfazendo
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=4-\frac{2}{x}.
Integramos:
\ln\mu(x)=\int\left(4-\frac{2}{x}\right)dx=4x-2\ln|x|+C.
Tomando a constante multiplicativa igual a 1 (podemos absorvê-la depois), obtemos
\mu(x)=e^{4x}x^{-2}.
Multiplicando a forma original por \mu(x) obtemos a FDO
\bigl(4e^{4x}y-e^{4x-2}x^{-2}\bigr)\,dx + e^{4x}\,dy=0.
Verificação rápida:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4e^{4x}y-e^{4x-2}x^{-2}\bigr)=4e^{4x}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{4x}\bigr)=4e^{4x},
iguais, então a forma é exata. Essa é a FDO exata obtida a partir da EDO dada.
Observação (atalho mais direto): ao dividir a EDO por x^{2} e multiplicar por e^{4x} (ou seja, aplicar o fator integrante e^{4x} ao formato y'+4y=\cdots) também chegamos à mesma forma exata, porque isto produz \frac{d}{dx}(e^{4x}y) no lado esquerdo.

Passo 4

(c) Encontrar a função \Phi(x,y) cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo da FDO exata do passo anterior.
Temos a forma exata
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
com
M(x,y)=4e^{4x}y-e^{4x-2}x^{-2},\qquad N(x,y)=e^{4x}.
Procuramos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Integramos \partial \Phi/\partial y = e^{4x} em relação a y:
\Phi(x,y)=\int e^{4x}\,dy=e^{4x}y + h(x),
onde h(x) é função a determinar. Agora derivamos essa expressão em relação a x e igualamos a M:
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=4e^{4x}y + h'(x) \stackrel{!}{=} 4e^{4x}y - e^{4x-2}x^{-2}.
Assim
h'(x)=-e^{4x-2}x^{-2}.
Integramos h'(x):
h(x)=-\int e^{4x-2}x^{-2}\,dx.
Agora calculamos essa integral. Escrevemos
\int e^{4x-2}x^{-2}\,dx=e^{-2}\int e^{4x}x^{-2}\,dx.
Para \int e^{4x}x^{-2}\,dx usamos integração por partes, escolhendo u=e^{4x} e dv=x^{-2}dx. Então du=4e^{4x}dx e v=-x^{-1}. Assim
\int e^{4x}x^{-2}\,dx = -\frac{e^{4x}}{x} + 4\int \frac{e^{4x}}{x}\,dx.
A integral \int \frac{e^{4x}}{x}\,dx não tem primitiva elementar em funções elementares comuns; ela é expressa pela função integral exponencial \operatorname{Ei}. Fazendo a substituição t=4x vemos
\int \frac{e^{4x}}{x}\,dx = \operatorname{Ei}(4x) + C.
Juntando:
\int e^{4x}x^{-2}\,dx = -\frac{e^{4x}}{x} + 4\,\operatorname{Ei}(4x)+C.
Portanto
h(x)=-e^{-2}\!\left(-\frac{e^{4x}}{x}+4\,\operatorname{Ei}(4x)\right)+C = -\left(-\frac{e^{4x-2}}{x}+4e^{-2}\operatorname{Ei}(4x)\right)+C.
Simplificando o sinal,
h(x)=-\int e^{4x-2}x^{-2}\,dx = -\left(-\frac{e^{4x-2}}{x}+4e^{-2}\operatorname{Ei}(4x)\right)+C =\frac{e^{4x-2}}{x}-4e^{-2}\operatorname{Ei}(4x)+C.
Logo uma primitiva \Phi(x,y) é
\Phi(x,y)=e^{4x}y + \frac{e^{4x-2}}{x}-4e^{-2}\operatorname{Ei}(4x)+C.
Verifique que d\Phi=M\,dx+N\,dy. (A constante C pode ser omitida ao identificar a função cujo diferencial coincide com o lado esquerdo.)
Observação: outra forma de escrever a mesma \Phi, movendo sinais, é
\Phi(x,y)=e^{4x}y -\!\left(\!-\frac{e^{4x-2}}{x}+4e^{-2}\operatorname{Ei}(4x)\!\right)+C,
mas a expressão dada acima é suficiente.

Passo 5

(d) Resolver a EDO — solução geral, passo a passo organizado.
Método escolhido: método do fator integrante para EDO linear de primeira ordem. Já identificamos a forma padrão
\frac{dy}{dx}+4y=e^{-2}x^{-2}.
Integrating factor (fator integrante) é
\mu(x)=e^{\int 4\,dx}=e^{4x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
e^{4x}\frac{dy}{dx}+4e^{4x}y=e^{4x}e^{-2}x^{-2}.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{4x}y\bigr) = e^{4x-2}x^{-2}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{4x}y=\int e^{4x-2}x^{-2}\,dx + C.
Já calculamos essa integral no passo anterior. Relembrando o resultado
\int e^{4x-2}x^{-2}\,dx = -\frac{e^{4x-2}}{x} + 4e^{-2}\operatorname{Ei}(4x) + C_{1}.
Logo
e^{4x}y = -\frac{e^{4x-2}}{x} + 4e^{-2}\operatorname{Ei}(4x) + C.
Dividindo por e^{4x} obtemos a solução geral:
y(x) = -\frac{e^{-2}}{x} + 4e^{-2}e^{-4x}\operatorname{Ei}(4x) + C e^{-4x}.
Podemos reorganizar os expoentes:
y(x) = -\frac{e^{-2}}{x} + 4e^{-4x-2}\operatorname{Ei}(4x) + C e^{-4x}.
Aqui C é constante arbitrária da integração e \operatorname{Ei} é a função integral exponencial, definida por
\operatorname{Ei}(t)=\int_{-\infty}^{t}\frac{e^{u}}{u}\,du
(com interpretação apropriada no domínio considerado). Lembre que a solução foi obtida supondo x\neq 0.

Resposta

(a) Ordem 1. A EDO é linear, pois pode ser escrita como \dfrac{dy}{dx}+4y=e^{-2}x^{-2}, forma y'+p(x)y=q(x).
(b) Uma FDO exata obtida multiplicando por \mu(x)=e^{4x}x^{-2} é
\bigl(4e^{4x}y-e^{4x-2}x^{-2}\bigr)\,dx+e^{4x}\,dy=0.
(c) Uma função cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo é
\Phi(x,y)=e^{4x}y+\frac{e^{4x-2}}{x}-4e^{-2}\operatorname{Ei}(4x)+C,
pois d\Phi=\bigl(4e^{4x}y-e^{4x-2}x^{-2}\bigr)\,dx+e^{4x}\,dy.
(d) Solução geral:
y(x)=-\frac{e^{-2}}{x}+4e^{-4x-2}\operatorname{Ei}(4x)+C e^{-4x},
com C constante arbitrária e x\neq 0.

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