Problema 2 Dada a EDO
(a) (vale 0,5 ) Diga a ordem da EDO e verifique se tal EDO é Linear. Justifique sua resposta
(b) (vale 2.0) A partir da EDO (2) obtenha uma FDO exata.
(c) (vale 1.5) A partir da EDO obtida, no item (b) desta questão, exiba quem é a função cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo da EDO exata obtida.
(d) (vale 2.0) Resolva a EDO (2). Resolva de forma organizada!
(b) (vale 2.0) A partir da EDO (2) obtenha uma FDO exata.
(c) (vale 1.5) A partir da EDO obtida, no item (b) desta questão, exiba quem é a função cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo da EDO exata obtida.
(d) (vale 2.0) Resolva a EDO (2). Resolva de forma organizada!
Passo 1
O enunciado dá a EDO
Perguntas:
(a) Dizer a ordem da EDO e verificar se é linear, com justificativa.
(b) A partir da EDO obter uma FDO exata (ou seja, escrever uma forma que seja exata).
(c) A partir da FDO exata do item (b) exibir a função cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo (ou seja, encontrar tal que
).
(d) Resolver a EDO de forma organizada (encontrar a solução geral ).
(a) Dizer a ordem da EDO e verificar se é linear, com justificativa.
(b) A partir da EDO obter uma FDO exata (ou seja, escrever uma forma
(c) A partir da FDO exata do item (b) exibir a função cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo (ou seja, encontrar
(d) Resolver a EDO de forma organizada (encontrar a solução geral
Informações dadas importantes:
- A EDO envolve
e sua derivada primeira . - Presume-se
sempre que dividirmos por . - A constante
aparece no termo fonte da equação.
Passo 2
(a) Ordem e linearidade — explicação e justificativa passo a passo.
Definição curta: a ordem de uma EDO é a ordem da maior derivada presente; uma EDO é linear (de primeira ordem) se pode ser escrita na forma
com
funções de
apenas (e
e sua derivada aparecendo com expoente
e sem produtos não lineares entre si).
Aplicando às nossas expressões:
A equação dada é
A equação dada é
- A maior derivada é
, ou seja, derivada de ordem . Logo a ordem é . - Dividindo ambos os lados por
(válido para ) obtemos
Isto está na forma
com
e
. Aqui
e
aparecem linearmente (potência
e sem produtos
,
etc.). Portanto a EDO é linear de primeira ordem.
Resumo do item (a): ordem
; é linear porque pode ser escrita como
com coeficientes só em
.
Passo 3
(b) Obter uma FDO exata — transformar a EDO em forma
exata.
Começo convertendo a EDO para forma diferencial multiplicando por
:
Colocando tudo no mesmo lado:
Aqui
e
. Para que esta forma seja exata precisamos ter
. Calculamos:
Como
em geral, a forma dada NÃO é exata. Precisamos então de um fator integrante
que torne
exata.
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. Uma condição prática é calcular
que depende somente de
. Então existe um fator integrante
satisfazendo
Integramos:
Tomando a constante multiplicativa igual a
(podemos absorvê-la depois), obtemos
Multiplicando a forma original por
obtemos a FDO
Verificação rápida:
iguais, então a forma é exata. Essa é a FDO exata obtida a partir da EDO dada.
Observação (atalho mais direto): ao dividir a EDO por
e multiplicar por
(ou seja, aplicar o fator integrante
ao formato
) também chegamos à mesma forma exata, porque isto produz
no lado esquerdo.
Passo 4
(c) Encontrar a função
cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo da FDO exata do passo anterior.
Temos a forma exata
com
Procuramos
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar. Agora derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
Assim
Integramos
:
Agora calculamos essa integral. Escrevemos
Para
usamos integração por partes, escolhendo
e
. Então
e
. Assim
A integral
não tem primitiva elementar em funções elementares comuns; ela é expressa pela função integral exponencial
. Fazendo a substituição
vemos
Juntando:
Portanto
Simplificando o sinal,
Logo uma primitiva
é
Verifique que
. (A constante
pode ser omitida ao identificar a função cujo diferencial coincide com o lado esquerdo.)
Observação: outra forma de escrever a mesma
, movendo sinais, é
mas a expressão dada acima é suficiente.
Passo 5
(d) Resolver a EDO — solução geral, passo a passo organizado.
Método escolhido: método do fator integrante para EDO linear de primeira ordem. Já identificamos a forma padrão
Integrating factor (fator integrante) é
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Integramos ambos os lados em relação a
:
Já calculamos essa integral no passo anterior. Relembrando o resultado
Logo
Dividindo por
obtemos a solução geral:
Podemos reorganizar os expoentes:
Aqui
é constante arbitrária da integração e
é a função integral exponencial, definida por
(com interpretação apropriada no domínio considerado). Lembre que a solução foi obtida supondo
.
Resposta
(a) Ordem
. A EDO é linear, pois pode ser escrita como
, forma
.
(b) Uma FDO exata obtida multiplicando por é
(b) Uma FDO exata obtida multiplicando por
(c) Uma função cuja diferencial total coincide com o lado esquerdo é
pois
.
(d) Solução geral:
(d) Solução geral:
com
constante arbitrária e
.