Problema 1 Dado o problema de valor inicial:
(a) (Vale 2,0 pontos). Encontre a função complementar,
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
(a) pede apenas a função complementar
(ou seja, a solução geral da equação homogênea associada). Informações relevantes: a equação diferencial é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e o termo não-homogêneo é
. Para achar
vamos considerar a equação homogênea correspondente:
Passo 2
Padrão prático para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: suponha uma solução do tipo
, com
(geralmente complexo) a ser determinado. Essa suposição funciona porque derivadas de
continuam sendo múltiplos de
, o que transforma a EDO numa equação algébrica para
. Agora calcule as derivadas e substitua na homogênea:
Passo 3
Substituindo em
e dividindo por
(que nunca é zero) obtemos o polinômio característico:
Agora precisamos resolver essa equação quadrática para achar os valores de
.
Passo 4
Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
Chamemos
e
, de modo que as raízes são
.
Passo 5
Quando as raízes do polinômio característico são
(com
), a solução real geral da homogênea é dada por
onde
e
são constantes arbitrárias (reais). Essa fórmula vem de escrever as soluções complexas
e combinar as partes reais linearmente para obter soluções reais.
Passo 6
Substituindo
e
na fórmula do passo anterior, obtemos a função complementar pedida:
com
constantes reais arbitrárias. Pronto — essa é a forma geral da solução homogênea; depois, se precisar, a gente encontra a solução particular e usa as condições iniciais para determinar
e
. Força aí — já vencemos a parte homogênea!