Problema 1 Dado o problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{rll} y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y & = & 2 e^{x} \\\ y(0)=3, y^{\prime}(0) & = & 7 \end{array} .\right.
(a) (Vale 2,0 pontos). Encontre a função complementar, y_{c}.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{rll} y''-y'+y &=& 2e^{x}\\[4pt] y(0)=3,\; y'(0)&=&7 \end{array}\right.
(a) pede apenas a função complementar y_{c} (ou seja, a solução geral da equação homogênea associada). Informações relevantes: a equação diferencial é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e o termo não-homogêneo é 2e^{x}. Para achar y_{c} vamos considerar a equação homogênea correspondente:
y''-y'+y=0.]

Passo 2

Padrão prático para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: suponha uma solução do tipo \,y=e^{rx}\,, com r (geralmente complexo) a ser determinado. Essa suposição funciona porque derivadas de e^{rx} continuam sendo múltiplos de e^{rx}, o que transforma a EDO numa equação algébrica para r. Agora calcule as derivadas e substitua na homogênea:
y=e^{rx},\qquad y'=re^{rx},\qquad y''=r^{2}e^{rx}.

Passo 3

Substituindo em y''-y'+y=0 e dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) obtemos o polinômio característico:
r^{2}-r+1=0.
Agora precisamos resolver essa equação quadrática para achar os valores de r.

Passo 4

Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
r=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.
Chamemos \alpha=\frac{1}{2} e \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}, de modo que as raízes são \alpha\pm i\beta.

Passo 5

Quando as raízes do polinômio característico são \alpha\pm i\beta (com \beta\neq0), a solução real geral da homogênea é dada por
y_{c}(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (reais). Essa fórmula vem de escrever as soluções complexas e^{(\alpha\pm i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x\pm i\sin\beta x) e combinar as partes reais linearmente para obter soluções reais.

Passo 6

Substituindo \alpha=\dfrac{1}{2} e \beta=\dfrac{\sqrt{3}}{2} na fórmula do passo anterior, obtemos a função complementar pedida:
y_{c}(x)=e^{\tfrac{1}{2}x}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big),
com C_{1},C_{2} constantes reais arbitrárias. Pronto — essa é a forma geral da solução homogênea; depois, se precisar, a gente encontra a solução particular e usa as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Força aí — já vencemos a parte homogênea!

Resposta

y_{c}(x)=e^{\tfrac{1}{2}x}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\big)\Big)

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