Encontre, em cada um dos ítens abaixo,
, onde
é dada implicitamente pelas equações abaixo:
Nos correspondentes itens do exercício acima, encontre o valor de
, onde:
Nos correspondentes itens do exercício acima, encontre o valor de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
quando
é definida implicitamente por certas equações (vários itens) e, em cada item, avaliar
em
. As informações explícitas que o enunciado fornece aqui são apenas que
.
O que falta — e é essencial — são as equações implícitas que definem em cada item (ou, equivalentemente, a função
ou relações como
, etc.). Sem essas equações não há dados suficientes para calcular derivadas específicas nem para obter
.
O que falta — e é essencial — são as equações implícitas que definem
Passo 2
Para obter
de uma relação implícita é preciso conhecer a equação que relaciona
e
. Além disso, para avaliar
em
normalmente precisamos do valor de
correspondente em
(ou seja,
), que se obtém substituindo
na equação implícita e resolvendo para
. Como essas informações não foram fornecidas, não é possível prosseguir com cálculos numéricos.
Vou ensinar, didaticamente, o método geral que usaríamos assim que tivermos a equação implícita. Isto serve como receita de prova — siga estes passos quando tiver a equação:
- Escreva a relação implícita num formato
. Aqui é uma expressão que envolve e . - Diferencie ambos os lados da igualdade em relação a
. Ao derivar termos que dependem de , aplique a regra da cadeia: . - Agrupe os termos que contêm
e isole . O resultado padrão, quando é diferenciável e , é
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante). Essa fórmula vem de diferenciar
e aplicar a regra da cadeia:
Resolva para
e obtém-se a fórmula acima.
Passo 3
Exemplo concreto e simples (para fixar o método): suponha a equação do círculo unitário
Aplique o passo a passo:
- Diferenciando em relação a
:
- Isole
:
- Para avaliar em
é preciso saber . Substituindo na equação original:
- Logo
Esse exemplo mostra dois pontos importantes: (i) sempre diferencie e isole
; (ii) para avaliar em
é obrigatório conhecer
, que vem da equação implícita.
Passo 4
Observações práticas para a prova (resumo passo-a-passo que você pode decorar):
- Coloque a relação na forma
. - Derive ambos os lados: compute
e conforme aparece em . - Resolva para
: . - Para avaliar
em : substitua e substitua — que você obteve resolvendo a equação inicial com . Se existirem várias soluções , cada uma dá um valor de (ou pode haver indeterminação se , caso em que é preciso mais cuidado).
Passo 5
Conclusão específica para o exercício que você mandou: como as equações implícitas dos itens não foram incluídas na mensagem, não há como calcular nem dar valores numéricos de
nem de
. Eu te mostrei o método que você deve aplicar assim que tiver cada equação: diferenciar, isolar
e avaliar em
usando o(s) valor(es) de
obtidos da própria equação.
Resposta
Não é possível determinar
porque as equações implícitas que definem
em cada item não foram fornecidas.