Encontre, em cada um dos ítens abaixo, \frac{d y}{d x}, onde y=y(x) é dada implicitamente pelas equações abaixo:
Nos correspondentes itens do exercício acima, encontre o valor de \frac{d y}{d x}\left(x_{0}\right), onde:
x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{dy}{dx} quando y=y(x) é definida implicitamente por certas equações (vários itens) e, em cada item, avaliar \dfrac{dy}{dx} em x_{0}=0. As informações explícitas que o enunciado fornece aqui são apenas que x_{0}=0.
O que falta — e é essencial — são as equações implícitas que definem y(x) em cada item (ou, equivalentemente, a função F(x,y)=0 ou relações como G(x,y)=0, etc.). Sem essas equações não há dados suficientes para calcular derivadas específicas nem para obter y(0).

Passo 2

Para obter \dfrac{dy}{dx} de uma relação implícita é preciso conhecer a equação que relaciona x e y. Além disso, para avaliar \dfrac{dy}{dx} em x_{0}=0 normalmente precisamos do valor de y correspondente em x=0 (ou seja, y(0)), que se obtém substituindo x=0 na equação implícita e resolvendo para y. Como essas informações não foram fornecidas, não é possível prosseguir com cálculos numéricos.
Vou ensinar, didaticamente, o método geral que usaríamos assim que tivermos a equação implícita. Isto serve como receita de prova — siga estes passos quando tiver a equação:
  1. Escreva a relação implícita num formato F(x,y)=0. Aqui F é uma expressão que envolve x e y.
  2. Diferencie ambos os lados da igualdade em relação a x. Ao derivar termos que dependem de y, aplique a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}y = y'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
  3. Agrupe os termos que contêm y' e isole y'. O resultado padrão, quando F é diferenciável e \dfrac{\partial F}{\partial y}\neq 0, é
y' = -\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}.
Aqui \dfrac{\partial F}{\partial x} é a derivada parcial de F em relação a x (tratando y como constante) e \dfrac{\partial F}{\partial y} é a derivada parcial de F em relação a y (tratando x como constante). Essa fórmula vem de diferenciar F(x,y(x))=0 e aplicar a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}F(x,y(x)) = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}\,y' = 0.
Resolva para y' e obtém-se a fórmula acima.

Passo 3

Exemplo concreto e simples (para fixar o método): suponha a equação do círculo unitário
F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0.
Aplique o passo a passo:
  1. Diferenciando em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr)=2x + 2y\,y' = 0.
  1. Isole y':
2y\,y' = -2x \quad\Rightarrow\quad y' = -\dfrac{x}{y}.
  1. Para avaliar em x_{0}=0 é preciso saber y(0). Substituindo x=0 na equação original:
0^{2}+y^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad y(0)=\pm 1.
  1. Logo
y'(0) = -\dfrac{0}{y(0)} = 0.
Esse exemplo mostra dois pontos importantes: (i) sempre diferencie e isole y'; (ii) para avaliar em x_{0} é obrigatório conhecer y(x_{0}), que vem da equação implícita.

Passo 4

Observações práticas para a prova (resumo passo-a-passo que você pode decorar):
  1. Coloque a relação na forma F(x,y)=0.
  2. Derive ambos os lados: compute \dfrac{\partial F}{\partial x} e \dfrac{\partial F}{\partial y} conforme aparece em \dfrac{d}{dx}F(x,y(x))=\dfrac{\partial F}{\partial x}+\dfrac{\partial F}{\partial y}\,y'.
  3. Resolva para y': y'=-\dfrac{F_x}{F_y}.
  4. Para avaliar y' em x_{0}: substitua x=x_{0} e substitua y=y(x_{0}) — que você obteve resolvendo a equação inicial com x=x_{0}. Se existirem várias soluções y(x_{0}), cada uma dá um valor de y'(x_{0}) (ou pode haver indeterminação se F_{y}=0, caso em que é preciso mais cuidado).

Passo 5

Conclusão específica para o exercício que você mandou: como as equações implícitas dos itens não foram incluídas na mensagem, não há como calcular nem dar valores numéricos de \dfrac{dy}{dx} nem de \dfrac{dy}{dx}(0). Eu te mostrei o método que você deve aplicar assim que tiver cada equação: diferenciar, isolar y' e avaliar em x_{0} usando o(s) valor(es) de y(0) obtidos da própria equação.

Resposta

Não é possível determinar \dfrac{dy}{dx}(0) porque as equações implícitas que definem y(x) em cada item não foram fornecidas.

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