Encontre a aproximação quadrática de
f(x, y)=\operatorname{sen}(x) \cos (y) próximo ao ponto (x, y)=\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\sin(x)\cos(y) e pede a aproximação quadrática (polinômio de Taylor de grau 2) dessa função em torno do ponto \displaystyle \left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right).
Informações fornecidas:
\begin{aligned} &f(x,y)=\sin(x)\cos(y),\\\ &\text{ponto de expansão: }\left(a,b\right)=\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right). \end{aligned}ã
O que se pede: encontrar o polinômio quadrático que aproxima f perto de \left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right).

Passo 2

Conceito usado (explicado passo a passo): a aproximação quadrática (polinômio de Taylor de grau 2) de uma função de duas variáveis em torno de (a,b) é dada por
Q(x,y)=f(a,b)+\nabla f(a,b)\cdot\begin{pmatrix}x-a\y-b\end{pmatrix} +\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}x-a & y-b\end{pmatrix}H_f(a,b)\begin{pmatrix}x-a\y-b\end{pmatrix},
onde:
  • \nabla f(a,b)=\begin{pmatrix}f_x(a,b)\\[4pt]f_y(a,b)\end{pmatrix} é o gradiente (as derivadas parciais primeiras), ou seja, as taxas de variação de f em cada direção;
  • H_f(a,b)=\begin{pmatrix}f_{xx}(a,b) & f_{xy}(a,b)\\[4pt]f_{yx}(a,b) & f_{yy}(a,b)\end{pmatrix} é a matriz Hessiana (as derivadas parciais segundas);
  • (x-a) e (y-b) são os deslocamentos em relação ao ponto de expansão.
    Vou calcular explicitamente f(a,b), f_x,f_y e f_{xx},f_{xy},f_{yy} em (a,b) e substituir na fórmula acima.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras de f(x,y)=\sin(x)\cos(y).
Derivando em relação a x (tratando \cos(y) como constante):
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\sin(x)\cos(y)\big)=\cos(x)\cos(y).
Derivando em relação a y (tratando \sin(x) como constante):
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(\sin(x)\cos(y)\big)=\sin(x)\big(-\sin(y)\big)=-\sin(x)\sin(y).

Passo 4

Avaliar f, f_x e f_y no ponto \left(a,b\right)=\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\right).
Primeiro, valores trigonométricos conhecidos:
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2},\quad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2},\quad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Agora:
\begin{aligned} f\!\left(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{6}\right) &=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) =\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{3}{4},\\[6pt] f_x\!\left(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{6}\right) &=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) =\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{4},\\[6pt] f_y\!\left(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{6}\right) &=-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) =-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{\sqrt{3}}{4}. \end{aligned}]

Passo 5

Calcular as derivadas parciais segundas.
A partir de f_x(x,y)=\cos(x)\cos(y):
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\cos(x)\cos(y)\big)=-\sin(x)\cos(y),
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(\cos(x)\cos(y)\big)=\cos(x)(-\sin(y))=-\cos(x)\sin(y).
A partir de f_y(x,y)=-\sin(x)\sin(y):
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(-\sin(x)\sin(y)\big)=-\sin(x)\cos(y),
f_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(-\sin(x)\sin(y)\big)=-\cos(x)\sin(y).
Note que f_{xy}=f_{yx}, como esperado (função suficientemente suave).

Passo 6

Avaliar as segundas derivadas em \left(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{6}\right).
Usando os valores trigonométricos já citados:
\begin{aligned} f_{xx}\!\left(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{6}\right) &=-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) =-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=-\tfrac{3}{4},\\[6pt] f_{xy}\!\left(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{6}\right) &=-\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) =-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4},\\[6pt] f_{yy}\!\left(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{6}\right) &=-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) =-\tfrac{3}{4}. \end{aligned}]

Passo 7

Montar a aproximação quadrática substituindo todos os valores na fórmula do Passo 2. Seja \displaystyle a=\tfrac{\pi}{3} e \displaystyle b=\tfrac{\pi}{6}. Então
\begin{aligned} Q(x,y)&=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\\[4pt] &\quad+\tfrac{1}{2}\big[ f_{xx}(a,b)(x-a)^2+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^2\big]. \end{aligned}
Substituindo os valores numéricos:
\begin{aligned} Q(x,y) &=\tfrac{3}{4}+\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,(x-a)-\tfrac{\sqrt{3}}{4}\,(y-b)\\[4pt] &\quad+\tfrac{1}{2}\Big[(-\tfrac{3}{4})(x-a)^2+2(-\tfrac{1}{4})(x-a)(y-b)+(-\tfrac{3}{4})(y-b)^2\Big]. \end{aligned}
Simplificando os coeficientes (multiplicando pela \tfrac{1}{2}):
Q(x,y)=\tfrac{3}{4}+\tfrac{\sqrt{3}}{4}(x-a)-\tfrac{\sqrt{3}}{4}(y-b) -\tfrac{3}{8}(x-a)^2-\tfrac{1}{4}(x-a)(y-b)-\tfrac{3}{8}(y-b)^2,
onde \displaystyle a=\tfrac{\pi}{3} e \displaystyle b=\tfrac{\pi}{6}.]

Resposta

Q(x,y)=\tfrac{3}{4}+\tfrac{\sqrt{3}}{4}\Big(x-\tfrac{\pi}{3}\Big)-\tfrac{\sqrt{3}}{4}\Big(y-\tfrac{\pi}{6}\Big) -\tfrac{3}{8}\Big(x-\tfrac{\pi}{3}\Big)^{\!2}-\tfrac{1}{4}\Big(x-\tfrac{\pi}{3}\Big)\Big(y-\tfrac{\pi}{6}\Big)-\tfrac{3}{8}\Big(y-\tfrac{\pi}{6}\Big)^{\!2}

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