Encontre a aproximação quadrática de
próximo ao ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a aproximação quadrática (polinômio de Taylor de grau 2) dessa função em torno do ponto
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
O que se pede: encontrar o polinômio quadrático que aproxima
perto de
.
Passo 2
Conceito usado (explicado passo a passo): a aproximação quadrática (polinômio de Taylor de grau 2) de uma função de duas variáveis em torno de
é dada por
onde:
-
é o gradiente (as derivadas parciais primeiras), ou seja, as taxas de variação de em cada direção; -
é a matriz Hessiana (as derivadas parciais segundas); -
e são os deslocamentos em relação ao ponto de expansão.
Vou calcular explicitamente, e em e substituir na fórmula acima.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras de
.
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Passo 4
Avaliar
,
e
no ponto
.
Primeiro, valores trigonométricos conhecidos:
Agora:
Passo 5
Calcular as derivadas parciais segundas.
A partir de
:
A partir de
:
Note que
, como esperado (função suficientemente suave).
Passo 6
Avaliar as segundas derivadas em
.
Usando os valores trigonométricos já citados:
Passo 7
Montar a aproximação quadrática substituindo todos os valores na fórmula do Passo 2. Seja
e
. Então
Substituindo os valores numéricos:
Simplificando os coeficientes (multiplicando pela
):
onde
e
.]