Problema 2 : A seguir apresentaremos operadores diferenciais lineares e em cada caso faça o que se pede: (I) (Vale 2,0 pontos). Apresente duas funçōes associadas ao anulador e que sāo funçōes linearmente independentes:
(a) D^{2}-9

Passo 1

O enunciado dá o operador diferencial linear D^{2}-9 e pede que eu apresente duas funções que sejam (1) associadas ao anulador (ou seja, que são anuladas por esse operador) e (2) linearmente independentes.
Informações relevantes fornecidas:
  • Operador: D^{2}-9.
  • Pedido: duas funções y_1(x) e y_2(x) tais que (D^{2}-9)[y_i]=0 para i=1,2 e que sejam linearmente independentes.

Passo 2

O que significa “associadas ao anulador”? Significa funções y(x) que satisfazem a equação homogênea
(D^{2}-9)[y]=0.
Em termos práticos, queremos soluções da equação diferencial homogeneous de segunda ordem cujas combinações lineares formem o espaço solução. Uma técnica padrão é tentar soluções do tipo exponencial \,y(x)=e^{rx}\, e ver quais valores de r são permitidos.

Passo 3

Suponho uma solução da forma \,y(x)=e^{rx}\,. Vou substituir na equação (D^{2}-9)[y]=0. Primeiro calcule as derivadas:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2}e^{rx}.
Substituindo em (D^{2}-9)[y]=0 obtemos
r^{2}e^{rx}-9e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter o polinômio característico
r^{2}-9=0.

Passo 4

Resolvo o polinômio característico:
r^{2}-9=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad r=\pm 3.
Portanto os expoentes permitidos são r=3 e r=-3. Isso sugere as duas soluções exponenciais
y_{1}(x)=e^{3x},\qquad y_{2}(x)=e^{-3x}.

Passo 5

Agora verifico explicitamente que as duas funções são realmente anuladas pelo operador. Para y_{1}(x)=e^{3x}:
(D^{2}-9)[e^{3x}]=\bigl(3^{2}-9\bigr)e^{3x}=(9-9)e^{3x}=0.
Para y_{2}(x)=e^{-3x}:
(D^{2}-9)[e^{-3x}]=\bigl((-3)^{2}-9\bigr)e^{-3x}=(9-9)e^{-3x}=0.
Logo ambas são soluções da equação homogênea, ou seja, são associadas ao anulador.

Passo 6

Preciso também mostrar que são linearmente independentes. Uso o Wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[4pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{3x} & e^{-3x}\\[4pt] 3e^{3x} & -3e^{-3x} \end{vmatrix}.
Calculo o determinante:
W(y_{1},y_{2})(x)=e^{3x}\cdot(-3e^{-3x}) - e^{-3x}\cdot(3e^{3x}) = -3 - 3 = -6.
Como W(y_{1},y_{2})(x)=-6\neq 0 para todo x, as funções y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.]

Passo 7

Resumo final: as funções e^{3x} e e^{-3x} são ambas anuladas pelo operador (D^{2}-9) e são linearmente independentes (Wronskiano constante não nulo). Essas duas funções formam uma base do espaço de soluções da equação homogênea associada ao anulador, de modo que a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-3x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

\,e^{3x}\,
\,e^{-3x}\,

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