Problema 2 : A seguir apresentaremos operadores diferenciais lineares e em cada caso faça o que se pede: (I) (Vale 2,0 pontos). Apresente duas funçōes associadas ao anulador e que sāo funçōes linearmente independentes:
(a) D^{2}-9
Passo 1
O enunciado dá o operador diferencial linear D^{2}-9 e pede que eu apresente duas funções que sejam (1) associadas ao anulador (ou seja, que são anuladas por esse operador) e (2) linearmente independentes.
Informações relevantes fornecidas:
Operador: D^{2}-9.
Pedido: duas funções y_1(x) e y_2(x) tais que (D^{2}-9)[y_i]=0 para i=1,2 e que sejam linearmente independentes.
Passo 2
O que significa “associadas ao anulador”? Significa funções y(x) que satisfazem a equação homogênea
(D^{2}-9)[y]=0.
Em termos práticos, queremos soluções da equação diferencial homogeneous de segunda ordem cujas combinações lineares formem o espaço solução. Uma técnica padrão é tentar soluções do tipo exponencial \,y(x)=e^{rx}\, e ver quais valores de r são permitidos.
Passo 3
Suponho uma solução da forma \,y(x)=e^{rx}\,. Vou substituir na equação (D^{2}-9)[y]=0. Primeiro calcule as derivadas:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2}e^{rx}.
Substituindo em (D^{2}-9)[y]=0 obtemos
r^{2}e^{rx}-9e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter o polinômio característico
Como W(y_{1},y_{2})(x)=-6\neq 0 para todo x, as funções y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.]
Passo 7
Resumo final: as funções e^{3x} e e^{-3x} são ambas anuladas pelo operador (D^{2}-9) e são linearmente independentes (Wronskiano constante não nulo). Essas duas funções formam uma base do espaço de soluções da equação homogênea associada ao anulador, de modo que a solução geral é