Problema 1 Dado o problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{rll} y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y & = & 2 e^{x} \\\ y(0)=3, y^{\prime}(0) & = & 7 \end{array} .\right.
( a ) (Vale 2,0 pontos). Encontre a função complementar, y_{c}.
(b) (Vale 2,0 pontos). Encontre a solução geral da EDO não-homogênea, y(x)
U(c) (Vale 2.0 pontos). Resolva o PVI, isto é, exiba a soluçāo do problema de valor inicial, Y(x).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais:
\left\{\begin{array}{rll} y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y & = & 2 e^{x} \\\ y(0)=3, & y^{\prime}(0) & = & 7 \end{array}\right.
As perguntas são:
(a) Encontrar a função complementar y_{c} (solução da equação homogênea associada).
(b) Encontrar a solução geral y(x) da EDO não-homogênea.
(c) Resolver o problema de valor inicial (PVI) e exibir a solução Y(x) que satisfaz y(0)=3 e y'(0)=7.
Informações relevantes dadas: o lado direito é 2e^{x}; a EDO é linear com coeficientes constantes de segunda ordem; as condições iniciais em x=0 são y(0)=3 e y'(0)=7.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada para obter y_{c}. A homogênea é
y''-y'+y=0.
A técnica padrão aqui é assumir uma solução do tipo exponencial y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-r+1=0.
Calculamos as raízes usando a fórmula quadrática:
r=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.
Como as raízes são complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta com \alpha=\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, a forma real da solução complementar é
y_{c}(x)=e^{\alpha x}\left(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\right).
Substituindo \alpha e \beta obtemos
y_{c}(x)=e^{x/2}\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da EDO não-homogênea
y''-y'+y=2e^{x}.
Explicando o método usado: como o termo forçante é uma exponencial e^{x}, tentamos uma solução particular da forma y_{p}=A e^{x}, onde A é constante desconhecida. Isso é o método dos coeficientes indeterminados — quando o lado direito é combinação de exponenciais, polinômios e senos/cossenos, tentamos combinações semelhantes.
Calculamos derivadas de y_{p}:
y_{p}'=A e^{x},\qquad y_{p}''=A e^{x}.
Substituímos na equação:
y_{p}''-y_{p}'+y_{p}=A e^{x}-A e^{x}+A e^{x}=A e^{x}.
Queremos que isso seja igual a 2e^{x}. Portanto
A e^{x}=2e^{x}\quad\Rightarrow\quad A=2.
Assim
y_{p}(x)=2e^{x}.

Passo 4

A solução geral da EDO não-homogênea é a soma da complementar com a particular:
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=e^{x/2}\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right)+2e^{x}.

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Primeiro calculamos y(0). Usando a expressão acima e que e^{0}=1, \cos 0=1, \sin 0=0, temos
y(0)=C_{1}+2.
A condição y(0)=3
C_{1}+2=3\quad\Rightarrow\quad C_{1}=1.

Passo 6

Precisamos de y'(x). Derivamos a solução geral. Denotando \omega=\tfrac{\sqrt{3}}{2} para simplificar, a parte complementar é y_{c}=e^{x/2}\big(C_{1}\cos(\omega x)+C_{2}\sin(\omega x)\big). Aplicando a regra do produto:
y_{c}'= \frac{1}{2}e^{x/2}\big(C_{1}\cos(\omega x)+C_{2}\sin(\omega x)\big) + e^{x/2}\big(-C_{1}\omega\sin(\omega x)+C_{2}\omega\cos(\omega x)\big).
A derivada de 2e^{x} é 2e^{x}. Logo
y'(x)=e^{x/2}\Big(\tfrac{1}{2}(C_{1}\cos(\omega x)+C_{2}\sin(\omega x))+\omega(-C_{1}\sin(\omega x)+C_{2}\cos(\omega x))\Big)+2e^{x}.
Agora avaliamos em x=0. Novamente e^{0}=1, \cos 0=1, \sin 0=0, então
y'(0)=\tfrac{1}{2}C_{1}+\omega C_{2}+2.
A condição y'(0)=7
\tfrac{1}{2}C_{1}+\omega C_{2}+2=7.
Substituindo C_{1}=1 e \omega=\tfrac{\sqrt{3}}{2} temos
\tfrac{1}{2}\cdot 1 + \tfrac{\sqrt{3}}{2}C_{2}+2=7.
Simplificando:
\tfrac{1}{2}+2+\tfrac{\sqrt{3}}{2}C_{2}=7\quad\Rightarrow\quad \tfrac{\sqrt{3}}{2}C_{2}=7-\tfrac{5}{2}=\tfrac{9}{2}.
Logo
C_{2}=\frac{\tfrac{9}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}.

Passo 7

Com C_{1}=1 e C_{2}=3\sqrt{3} obtemos a solução do PVI:
Y(x)=e^{x/2}\left(\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)+3\sqrt{3}\,\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right)+2e^{x}.

Resposta

(a) y_{c}(x)=e^{x/2}\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right)
(b) y(x)=e^{x/2}\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right)+2e^{x}
(c) Y(x)=e^{x/2}\left(\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)+3\sqrt{3}\,\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right)+2e^{x}

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