Problema 1 Dado o problema de valor inicial:
( a ) (Vale 2,0 pontos). Encontre a função complementar,
.
(b) (Vale 2,0 pontos). Encontre a solução geral da EDO não-homogênea,
U(c) (Vale 2.0 pontos). Resolva o PVI, isto é, exiba a soluçāo do problema de valor inicial,
.
(b) (Vale 2,0 pontos). Encontre a solução geral da EDO não-homogênea,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais:
As perguntas são:
(a) Encontrar a função complementar (solução da equação homogênea associada).
(b) Encontrar a solução geral da EDO não-homogênea.
(c) Resolver o problema de valor inicial (PVI) e exibir a solução que satisfaz
e
.
(a) Encontrar a função complementar
(b) Encontrar a solução geral
(c) Resolver o problema de valor inicial (PVI) e exibir a solução
Informações relevantes dadas: o lado direito é
; a EDO é linear com coeficientes constantes de segunda ordem; as condições iniciais em
são
e
.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada para obter
. A homogênea é
A técnica padrão aqui é assumir uma solução do tipo exponencial
. Substituindo obtemos a equação característica
Calculamos as raízes usando a fórmula quadrática:
Como as raízes são complexas conjugadas
com
e
, a forma real da solução complementar é
Substituindo
e
obtemos
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da EDO não-homogênea
Explicando o método usado: como o termo forçante é uma exponencial
, tentamos uma solução particular da forma
, onde
é constante desconhecida. Isso é o método dos coeficientes indeterminados — quando o lado direito é combinação de exponenciais, polinômios e senos/cossenos, tentamos combinações semelhantes.
Calculamos derivadas de
:
Substituímos na equação:
Queremos que isso seja igual a
. Portanto
Assim
Passo 4
A solução geral da EDO não-homogênea é a soma da complementar com a particular:
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
. Primeiro calculamos
. Usando a expressão acima e que
,
,
, temos
A condição
dá
Passo 6
Precisamos de
. Derivamos a solução geral. Denotando
para simplificar, a parte complementar é
. Aplicando a regra do produto:
A derivada de
é
. Logo
Agora avaliamos em
. Novamente
,
,
, então
A condição
dá
Substituindo
e
temos
Simplificando:
Logo
Passo 7
Com
e
obtemos a solução do PVI:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)