Problema 2 : A seguir apresentaremos operadores diferenciais lineares e em cada caso faça o que se pede: (I) (Vale 2,0 pontos). Apresente duas funçōes associadas ao anulador e que sāo funçōes linearmente independentes:
(a) D^{2}-9
(b) D^{2}+3 D+2;
(II) (Vale 2,0 pontos). Mostre que as funçōes apresentadas em (I), alternativa (a), e em (I), alternativa (b) sâo de fato linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, divididas em (I) e (II).
(I) Apresentar, para cada operador diferencial linear dado, duas funções associadas ao anulador que sejam linearmente independentes:
  • (a) operador \;D^{2}-9\;.
  • (b) operador \;D^{2}+3D+2\;.
(II) Mostrar que as funções indicadas em (I)-(a) e em (I)-(b) são de fato linearmente independentes.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Os operadores são diferenciais com coeficientes constantes: \;D=\dfrac{d}{dx}\;.
  • Para cada operador precisamos escolher duas soluções (funções) que sejam anuladas pelo operador (ou seja, pertençam ao núcleo do operador) e provar que são linearmente independentes.

Passo 2

Ideia geral (método que vamos usar) — por que funções exponenciais aparecem aqui e como obter as soluções.
Quando temos um operador linear com coeficientes constantes e buscamos funções y(x) tais que L[y]=0, é muito comum testar soluções da forma \;y(x)=e^{rx}\;, porque derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}:
\frac{d}{dx}e^{rx}=r e^{rx},\qquad \frac{d^2}{dx^2}e^{rx}=r^2 e^{rx},\\ \text{etc.}
Substituindo y=e^{rx} em L[y]=0 transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r, chamada equação característica. As raízes r dessa equação nos dizem quais exponenciais e^{rx} são soluções. Relembre:
  • Se r é raiz simples da característica, então e^{rx} é solução.
  • Se r tem multiplicidade m>1, aparecem soluções do tipo x^k e^{rx} para k=0,1,\dots,m-1.
Nos dois operadores do enunciado as raízes serão simples, então teremos duas soluções exponenciais por operador.

Passo 3

Resolver (I)-(a): achar duas funções anuladas por \;D^{2}-9\;.
  1. Escrevemos a equação característica substituindo D por r:
r^{2}-9=0.
  1. Resolvendo:
r^{2}-9=(r-3)(r+3)=0 \quad\Rightarrow\quad r=3 \quad\text{ou}\quad r=-3.
  1. Portanto as funções
\;y_{1}(x)=e^{3x}\quad\text{e}\quad y_{2}(x)=e^{-3x}\;
são soluções da equação homogênea (D^{2}-9)[y]=0. Vamos verificar explicitamente que o operador as anula (para ficar bem claro como testar numa prova):
  • Para y_{1}(x)=e^{3x}:
D y_{1}=3e^{3x},\qquad D^{2}y_{1}=9e^{3x},
portanto
(D^{2}-9)[y_{1}]=9e^{3x}-9e^{3x}=0.
  • Para y_{2}(x)=e^{-3x}:
D y_{2}=-3e^{-3x},\qquad D^{2}y_{2}=9e^{-3x},
portanto
(D^{2}-9)[y_{2}]=9e^{-3x}-9e^{-3x}=0.
Assim \;e^{3x} e \;e^{-3x} são funções associadas ao anulador \;D^{2}-9.

Passo 4

Resolver (I)-(b): achar duas funções anuladas por \;D^{2}+3D+2\;.
  1. Escrevemos a equação característica:
r^{2}+3r+2=0.
  1. Fatorando:
r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2)=0 \quad\Rightarrow\quad r=-1 \quad\text{ou}\quad r=-2.
  1. Portanto as funções
\;y_{3}(x)=e^{-x}\quad\text{e}\quad y_{4}(x)=e^{-2x}\;
são soluções de (D^{2}+3D+2)[y]=0. Verificação direta:
  • Para y_{3}(x)=e^{-x}:
D y_{3}=-e^{-x},\qquad D^{2}y_{3}=e^{-x},
logo
(D^{2}+3D+2)[y_{3}]=e^{-x}+3(-e^{-x})+2e^{-x}=(1-3+2)e^{-x}=0.
  • Para y_{4}(x)=e^{-2x}:
D y_{4}=-2e^{-2x},\qquad D^{2}y_{4}=4e^{-2x},
logo
(D^{2}+3D+2)[y_{4}]=4e^{-2x}+3(-2e^{-2x})+2e^{-2x}=(4-6+2)e^{-2x}=0.
Assim \;e^{-x} e \;e^{-2x} são funções associadas ao anulador \;D^{2}+3D+2.

Passo 5

Explicando linearidade e como provar independência linear (o que precisamos no item (II)).
Definição prática: duas funções f e g são linearmente independentes se a única combinação linear que é identicamente zero é aquela com coeficientes zero; isto é, se
c_{1}f(x)+c_{2}g(x)\equiv 0\\ \text{para todo }x
implica c_{1}=c_{2}=0.
Ferramenta conveniente em provas: o Wronskiano. Para duas funções f,g define-se
W(f,g)(x)=\det\begin{pmatrix} f(x) & g(x) \\\ f'(x) & g'(x)\end{pmatrix} = f(x)g'(x)-f'(x)g(x).
Um fato útil (para funções suficientemente suaves) é: se existe um ponto x_{0} tal que W(f,g)(x_{0})\neq 0, então f e g são linearmente independentes (na vizinhança de x_{0}, e para exponenciais como aqui, em todo \mathbb{R}). Então vamos calcular o Wronskiano para cada par.

Passo 6

Provar independência para (I)-(a): funções e^{3x} e e^{-3x}.
Calcule o Wronskiano:
W(e^{3x},e^{-3x})(x)=\det\begin{pmatrix} e^{3x} & e^{-3x} \\\\ 3e^{3x} & -3e^{-3x}\end{pmatrix}.
Calculando a determinante:
W = e^{3x}\cdot(-3e^{-3x}) - (3e^{3x})\cdot e^{-3x} = -3e^{0} - 3e^{0} = -3 -3 = -6.
Portanto \;W(e^{3x},e^{-3x})(x)=-6\neq 0 para todo x. Como o Wronskiano é diferente de zero (na verdade constante não nulo), concluímos que e^{3x} e e^{-3x} são linearmente independentes.
Se preferir uma prova direta sem Wronskiano: suponha c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{-3x}\equiv 0. Multiplicando por e^{3x} obtemos c_{1}e^{6x}+c_{2}\equiv 0 para todo x. Fazendo x\to\infty e x\to -\infty c_{1}=c_{2}=0. Mas o uso do Wronskiano é mais sistemático.

Passo 7

Provar independência para (I)-(b): funções e^{-x} e e^{-2x}.
Calcule o Wronskiano:
W(e^{-x},e^{-2x})(x)=\det\begin{pmatrix} e^{-x} & e^{-2x} \\\\ -e^{-x} & -2e^{-2x}\end{pmatrix}.
Calculando:
W = e^{-x}\cdot(-2e^{-2x}) - (-e^{-x})\cdot e^{-2x} = -2e^{-3x} + e^{-3x} = -e^{-3x}.
Observação: \;e^{-3x}>0 para todo x, logo -e^{-3x}\neq 0 para todo x. Assim W(e^{-x},e^{-2x})(x)=-e^{-3x}\neq 0 e as funções são linearmente independentes.
Outra prova direta: se c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}\equiv 0 então multiplicando por e^{2x} obtemos c_{1}e^{x}+c_{2}\equiv 0. Fazendo x\to+\infty vemos que c_{1}=0, e então c_{2}=0. Portanto independentes.

Passo 8

Resumo e conclusão final — respondendo diretamente ao enunciado.
  • Para o operador \;D^{2}-9\; duas funções associadas ao anulador e linearmente independentes são \;e^{3x} e \;e^{-3x}.
  • Para o operador \;D^{2}+3D+2\; duas funções associadas ao anulador e linearmente independentes são \;e^{-x} e \;e^{-2x}.
  • As independências foram mostradas calculando-se os Wronskianos: W(e^{3x},e^{-3x})=-6\neq 0 e W(e^{-x},e^{-2x})=-e^{-3x}\neq 0.

Resposta

(I)(a) e^{3x},\\ e^{-3x}
(I)(b) e^{-x},\\ e^{-2x}
(II) Para (a) W(e^{3x},e^{-3x})=-6\neq0 logo são linearmente independentes. Para (b) W(e^{-x},e^{-2x})=-e^{-3x}\neq0 logo são linearmente independentes.

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