Problema 2 : A seguir apresentaremos operadores diferenciais lineares e em cada caso faça o que se pede: (I) (Vale 2,0 pontos). Apresente duas funçōes associadas ao anulador e que sāo funçōes linearmente independentes:
(a) D^{2}-9
(b) D^{2}+3 D+2;
(II) (Vale 2,0 pontos). Mostre que as funçōes apresentadas em (I), alternativa (a), e em (I), alternativa (b) sâo de fato linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, divididas em (I) e (II).
(I) Apresentar, para cada operador diferencial linear dado, duas funções associadas ao anulador que sejam linearmente independentes:
(a) operador \;D^{2}-9\;.
(b) operador \;D^{2}+3D+2\;.
(II) Mostrar que as funções indicadas em (I)-(a) e em (I)-(b) são de fato linearmente independentes.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Os operadores são diferenciais com coeficientes constantes: \;D=\dfrac{d}{dx}\;.
Para cada operador precisamos escolher duas soluções (funções) que sejam anuladas pelo operador (ou seja, pertençam ao núcleo do operador) e provar que são linearmente independentes.
Passo 2
Ideia geral (método que vamos usar) — por que funções exponenciais aparecem aqui e como obter as soluções.
Quando temos um operador linear com coeficientes constantes e buscamos funções y(x) tais que L[y]=0, é muito comum testar soluções da forma \;y(x)=e^{rx}\;, porque derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}:
Substituindo y=e^{rx} em L[y]=0 transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r, chamada equação característica. As raízes r dessa equação nos dizem quais exponenciais e^{rx} são soluções. Relembre:
Se r é raiz simples da característica, então e^{rx} é solução.
Se r tem multiplicidade m>1, aparecem soluções do tipo x^k e^{rx} para k=0,1,\dots,m-1.
Nos dois operadores do enunciado as raízes serão simples, então teremos duas soluções exponenciais por operador.
Passo 3
Resolver (I)-(a): achar duas funções anuladas por \;D^{2}-9\;.
Escrevemos a equação característica substituindo D por r:
são soluções da equação homogênea (D^{2}-9)[y]=0. Vamos verificar explicitamente que o operador as anula (para ficar bem claro como testar numa prova):
Para y_{1}(x)=e^{3x}:
D y_{1}=3e^{3x},\qquad D^{2}y_{1}=9e^{3x},
portanto
(D^{2}-9)[y_{1}]=9e^{3x}-9e^{3x}=0.
Para y_{2}(x)=e^{-3x}:
D y_{2}=-3e^{-3x},\qquad D^{2}y_{2}=9e^{-3x},
portanto
(D^{2}-9)[y_{2}]=9e^{-3x}-9e^{-3x}=0.
Assim \;e^{3x} e \;e^{-3x} são funções associadas ao anulador \;D^{2}-9.
Passo 4
Resolver (I)-(b): achar duas funções anuladas por \;D^{2}+3D+2\;.
Assim \;e^{-x} e \;e^{-2x} são funções associadas ao anulador \;D^{2}+3D+2.
Passo 5
Explicando linearidade e como provar independência linear (o que precisamos no item (II)).
Definição prática: duas funções f e g são linearmente independentes se a única combinação linear que é identicamente zero é aquela com coeficientes zero; isto é, se
c_{1}f(x)+c_{2}g(x)\equiv 0\\ \text{para todo }x
implica c_{1}=c_{2}=0.
Ferramenta conveniente em provas: o Wronskiano. Para duas funções f,g define-se
Um fato útil (para funções suficientemente suaves) é: se existe um ponto x_{0} tal que W(f,g)(x_{0})\neq 0, então f e g são linearmente independentes (na vizinhança de x_{0}, e para exponenciais como aqui, em todo \mathbb{R}). Então vamos calcular o Wronskiano para cada par.
Passo 6
Provar independência para (I)-(a): funções e^{3x} e e^{-3x}.
Portanto \;W(e^{3x},e^{-3x})(x)=-6\neq 0 para todo x. Como o Wronskiano é diferente de zero (na verdade constante não nulo), concluímos que e^{3x} e e^{-3x} são linearmente independentes.
Se preferir uma prova direta sem Wronskiano: suponha c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{-3x}\equiv 0. Multiplicando por e^{3x} obtemos c_{1}e^{6x}+c_{2}\equiv 0 para todo x. Fazendo x\to\infty e x\to -\infty dá c_{1}=c_{2}=0. Mas o uso do Wronskiano é mais sistemático.
Passo 7
Provar independência para (I)-(b): funções e^{-x} e e^{-2x}.
Observação: \;e^{-3x}>0 para todo x, logo -e^{-3x}\neq 0 para todo x. Assim W(e^{-x},e^{-2x})(x)=-e^{-3x}\neq 0 e as funções são linearmente independentes.
Outra prova direta: se c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-2x}\equiv 0 então multiplicando por e^{2x} obtemos c_{1}e^{x}+c_{2}\equiv 0. Fazendo x\to+\infty vemos que c_{1}=0, e então c_{2}=0. Portanto independentes.
Passo 8
Resumo e conclusão final — respondendo diretamente ao enunciado.
Para o operador \;D^{2}-9\; duas funções associadas ao anulador e linearmente independentes são \;e^{3x} e \;e^{-3x}.
Para o operador \;D^{2}+3D+2\; duas funções associadas ao anulador e linearmente independentes são \;e^{-x} e \;e^{-2x}.
As independências foram mostradas calculando-se os Wronskianos: W(e^{3x},e^{-3x})=-6\neq 0 e W(e^{-x},e^{-2x})=-e^{-3x}\neq 0.
Resposta
(I)(a) e^{3x},\\ e^{-3x}
(I)(b) e^{-x},\\ e^{-2x}
(II) Para (a) W(e^{3x},e^{-3x})=-6\neq0 logo são linearmente independentes. Para (b) W(e^{-x},e^{-2x})=-e^{-3x}\neq0 logo são linearmente independentes.