Problema 1. Dados os pontos A(2,-1), B(5,3) e C(-1,4) :
(a) determine os vetores \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C} e \overrightarrow{A C};
(b) verifique, por cálculo direto, a relação
O enunciado dá três pontos no plano e pede três coisas:
Dados: A(2,-1), B(5,3) e C(-1,4).
Perguntas:
(a) determinar os vetores \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C} e \overrightarrow{A C};(b) verificar, por cálculo direto, a relação \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C};(c) interpretar geometricamente essa relação.
Informações relevantes que o enunciado fornece: as coordenadas dos pontos A, B e C. A partir delas podemos obter vetores como diferenças de coordenadas.
Passo 2
Regra para obter o vetor entre dois pontos (fórmula e ideia):
Se P=(x_1,y_1) e Q=(x_2,y_2), o vetor que vai de P para Q é dado por
\overrightarrow{P Q}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1).
Significado das variáveis: x_1,y_1 são as coordenadas do ponto de partida P; x_2,y_2 são as coordenadas do ponto de chegada Q. Cada componente do vetor é a diferença correspondente entre as coordenadas: componente x é deslocamento horizontal, componente y é deslocamento vertical.
Exemplo rápido (modelo): de (0,0) a (2,3) tem vetor (2-0,\,3-0)=(2,3). Isso é só para fixar a ideia.
Passo 3
Calcular \overrightarrow{A B} aplicando a fórmula com A(2,-1) e B(5,3):
componente x: 5-2=3;
componente y: 3-(-1)=3+1=4.
Portanto
\overrightarrow{A B}=(3,4).
Passo 4
Calcular \overrightarrow{B C} com B(5,3) e C(-1,4):
componente x: -1-5=-6;
componente y: 4-3=1.
Portanto
\overrightarrow{B C}=(-6,1).
Passo 5
Calcular \overrightarrow{A C} com A(2,-1) e C(-1,4):
componente x: -1-2=-3;
componente y: 4-(-1)=4+1=5.
Portanto
\overrightarrow{A C}=(-3,5).
Passo 6
Verificação da soma \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C} por cálculo direto:
Regra de adição de vetores em componentes: se \mathbf{u}=(u_x,u_y) e \mathbf{v}=(v_x,v_y), então \mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_x+v_x,\;u_y+v_y).
O resultado (-3,5) coincide com \overrightarrow{A C} encontrado no Passo 5. Logo a igualdade é verdadeira.
Passo 7
Interpretação geométrica (explicação didática e intuitiva):
Um vetor \overrightarrow{P Q} representa o deslocamento do ponto P até o ponto Q.
A soma \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C} significa: primeiro deslocar-se de A até B (vetor \overrightarrow{A B}), e em seguida deslocar-se de B até C (vetor \overrightarrow{B C}). Pelo “método cabeça‑cauda” de adição de vetores, esses dois deslocamentos concatenados são equivalentes a um único deslocamento que vai de A diretamente até C, isto é \overrightarrow{A C}.
Geometricamente, se desenhar o triângulo ABC, colocar \overrightarrow{A B} com a cauda em A e a cabeça em B, e em seguida colocar \overrightarrow{B C} com a cauda em B, a soma \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C} tem a cauda em A e a cabeça em C. Essa é a interpretação da igualdade verificada: a composição de deslocamentos ao longo dos lados do triângulo segue diretamente do ponto inicial ao ponto final.
Resposta
(a) \overrightarrow{A B}=(3,4),\quad \overrightarrow{B C}=(-6,1),\quad \overrightarrow{A C}=(-3,5)
(b) \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C} (pois (3,4)+(-6,1)=(-3,5))
(c) A soma representa a concatenação de deslocamentos: ir de A a B e depois a C é o mesmo que ir diretamente de A a C (regra cabeça‑cauda).