Resolva os itens abaixo.
(a) Resolva o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=1 \\\ x_{1}+2+2 x_{3}=2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}=3 \end{array}\right.
por eliminaçũo de Gauss-Jordan.

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte sistema linear e pede que seja resolvido por eliminação de Gauss-Jordan:
\left\{\begin{array}{l} 3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=1,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=2,\\[4pt] 4x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=3. \end{array}\right.
Informações relevantes do enunciado:
  • As incógnitas são \,x_{1},x_{2},x_{3}.
  • Deve-se usar o método de Gauss-Jordan (ou seja, transformar a matriz aumentada na forma reduzida por linhas — forma escalonada reduzida — para obter diretamente os valores das incógnitas).]

Passo 2

Vou escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz coeficientes e a coluna dos termos independentes ficam assim:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 4 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 4 & 3 & -2 & 3 \end{array}\right].
Explicando rapidamente o que faremos (regra do Gauss-Jordan): são permitidas três operações elementares sobre linhas:
  1. trocar duas linhas; 2) multiplicar uma linha por um escalar não nulo; 3) somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    O objetivo é obter a forma reduzida por linhas onde cada pivô é 1 e é o único elemento não nulo em sua coluna, assim cada incógnita aparece isolada.]

Passo 3

Primeiro passo prático: escolher o pivô na primeira coluna (linha 1). Faço a primeira linha com pivô 1 dividindo a linha 1 por 3:
R_{1}\leftarrow \frac{1}{3}R_{1}
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{4}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] 1 & 2 & 2 & 2\\[6pt] 4 & 3 & -2 & 3 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora zerei os elementos abaixo do pivô da coluna 1 (ou seja, tornarei 0 as entradas em (2,1) e (3,1)) usando combinações de linhas:
  • Elimino a entrada da linha 2 em coluna 1 fazendo R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}.
  • Elimino a entrada da linha 3 em coluna 1 fazendo R_{3}\leftarrow R_{3}-4R_{1}.
Calculemos cada linha:
  • R_{2}-R_{1}=(1,2,2,2)-(1,\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3},\tfrac{1}{3})=(0,\tfrac{4}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{5}{3}).
  • R_{3}-4R_{1}=(4,3,-2,3)-4(1,\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3},\tfrac{1}{3})=(0,\tfrac{1}{3},-\tfrac{22}{3},\tfrac{5}{3}).
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{4}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & \tfrac{4}{3} & \tfrac{2}{3} & \tfrac{5}{3}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{22}{3} & \tfrac{5}{3} \end{array}\right].]

Passo 5

Agora escolho o pivô na segunda coluna (linha 2). Faço o pivô igual a 1 multiplicando a linha 2 por \tfrac{3}{4}:
R_{2}\leftarrow \tfrac{3}{4}R_{2}.
Cálculo: \tfrac{3}{4}\cdot(\,0,\tfrac{4}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{5}{3}\,)= (0,1,\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{4}).
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{4}{3} & \tfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{4}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{22}{3} & \tfrac{5}{3} \end{array}\right].]

Passo 6

Zerarei as outras entradas da coluna 2 (acima e abaixo do pivô) para obter zeros exceto no pivô:
  • Para zerar a entrada em (1,2) faço R_{1}\leftarrow R_{1}-\tfrac{2}{3}R_{2}.
  • Para zerar a entrada em (3,2) faço R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{3}R_{2}.
Calculemos:
  • R_{1}-\tfrac{2}{3}R_{2}=(1,\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3},\tfrac{1}{3})-\tfrac{2}{3}(0,1,\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{4}).
    O termo da coluna 3: \tfrac{4}{3}-\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{4}{3}-\tfrac{1}{3}=1.
    O termo independente: \tfrac{1}{3}-\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{5}{4}=\tfrac{1}{3}-\tfrac{5}{6}=-\tfrac{1}{2}.
    Assim R_{1} vira (1,0,1,-\tfrac{1}{2}).
  • R_{3}-\tfrac{1}{3}R_{2}=(0,\tfrac{1}{3},-\tfrac{22}{3},\tfrac{5}{3})-\tfrac{1}{3}(0,1,\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{4}).
    O termo da coluna 3: -\tfrac{22}{3}-\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{22}{3}-\tfrac{1}{6}=-\tfrac{45}{6}=-\tfrac{15}{2}.
    O termo independente: \tfrac{5}{3}-\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{5}{4}=\tfrac{5}{3}-\tfrac{5}{12}=\tfrac{5}{4}.
    Assim R_{3} vira (0,0,-\tfrac{15}{2},\tfrac{5}{4}).
A matriz agora é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{4}\\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac{15}{2} & \tfrac{5}{4} \end{array}\right].]

Passo 7

Agora trabalho a terceira coluna. O pivô natural é a entrada em (3,3), que vale -\tfrac{15}{2}. Faço esse pivô igual a 1 multiplicando a linha 3 por -\tfrac{2}{15}:
R_{3}\leftarrow -\tfrac{2}{15}R_{3}.
Cálculo do termo independente: -\tfrac{2}{15}\cdot\tfrac{5}{4}=-\tfrac{10}{60}=-\tfrac{1}{6}. Então a linha 3 fica (0,0,1,-\tfrac{1}{6}). A matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{4}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{6} \end{array}\right].]

Passo 8

Último passo do Gauss-Jordan: zerar as entradas acima do pivô da terceira coluna para que cada coluna de pivô tenha zeros em todas as outras posições.
  • Para zerar a entrada em (1,3) faço R_{1}\leftarrow R_{1}-1\cdot R_{3}.
  • Para zerar a entrada em (2,3) faço R_{2}\leftarrow R_{2}-\tfrac{1}{2}R_{3}.
Calculemos:
  • R_{1}-R_{3}=(1,0,1,-\tfrac{1}{2})-(0,0,1,-\tfrac{1}{6})=(1,0,0,-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}).
    O termo independente: -\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}=-\tfrac{1}{3}. Então R_{1}=(1,0,0,-\tfrac{1}{3}).
  • R_{2}-\tfrac{1}{2}R_{3}=(0,1,\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{4})-\tfrac{1}{2}(0,0,1,-\tfrac{1}{6})=(0,1,0,\tfrac{5}{4}+\tfrac{1}{12}).
    O termo independente: \tfrac{5}{4}+\tfrac{1}{12}=\tfrac{15}{12}+\tfrac{1}{12}=\tfrac{16}{12}=\tfrac{4}{3}. Então R_{2}=(0,1,0,\tfrac{4}{3}).
A matriz totalmente reduzida é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{4}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{6} \end{array}\right].]

Passo 9

Interpretando a forma reduzida por linhas: cada linha corresponde a uma equação com uma única incógnita:
\begin{array}{l} x_{1}=-\tfrac{1}{3},\\[4pt] x_{2}=\tfrac{4}{3},\\[4pt] x_{3}=-\tfrac{1}{6}. \end{array}
(Fazendo uma verificação rápida, esses valores satisfazem as três equações originais; portanto a solução está correta.)]

Resposta

x_{1}=-\tfrac{1}{3}
x_{2}=\tfrac{4}{3}
x_{3}=-\tfrac{1}{6}

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