Deve-se usar o método de Gauss-Jordan (ou seja, transformar a matriz aumentada na forma reduzida por linhas — forma escalonada reduzida — para obter diretamente os valores das incógnitas).]
Passo 2
Vou escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz coeficientes e a coluna dos termos independentes ficam assim:
Explicando rapidamente o que faremos (regra do Gauss-Jordan): são permitidas três operações elementares sobre linhas:
trocar duas linhas; 2) multiplicar uma linha por um escalar não nulo; 3) somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
O objetivo é obter a forma reduzida por linhas onde cada pivô é 1 e é o único elemento não nulo em sua coluna, assim cada incógnita aparece isolada.]
Passo 3
Primeiro passo prático: escolher o pivô na primeira coluna (linha 1). Faço a primeira linha com pivô 1 dividindo a linha 1 por 3:
Zerarei as outras entradas da coluna 2 (acima e abaixo do pivô) para obter zeros exceto no pivô:
Para zerar a entrada em (1,2) faço R_{1}\leftarrow R_{1}-\tfrac{2}{3}R_{2}.
Para zerar a entrada em (3,2) faço R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{3}R_{2}.
Calculemos:
R_{1}-\tfrac{2}{3}R_{2}=(1,\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3},\tfrac{1}{3})-\tfrac{2}{3}(0,1,\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{4}).
O termo da coluna 3: \tfrac{4}{3}-\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{4}{3}-\tfrac{1}{3}=1.
O termo independente: \tfrac{1}{3}-\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{5}{4}=\tfrac{1}{3}-\tfrac{5}{6}=-\tfrac{1}{2}.
Assim R_{1} vira (1,0,1,-\tfrac{1}{2}).
R_{3}-\tfrac{1}{3}R_{2}=(0,\tfrac{1}{3},-\tfrac{22}{3},\tfrac{5}{3})-\tfrac{1}{3}(0,1,\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{4}).
O termo da coluna 3: -\tfrac{22}{3}-\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{22}{3}-\tfrac{1}{6}=-\tfrac{45}{6}=-\tfrac{15}{2}.
O termo independente: \tfrac{5}{3}-\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{5}{4}=\tfrac{5}{3}-\tfrac{5}{12}=\tfrac{5}{4}.
Assim R_{3} vira (0,0,-\tfrac{15}{2},\tfrac{5}{4}).
Agora trabalho a terceira coluna. O pivô natural é a entrada em (3,3), que vale -\tfrac{15}{2}. Faço esse pivô igual a 1 multiplicando a linha 3 por -\tfrac{2}{15}:
R_{3}\leftarrow -\tfrac{2}{15}R_{3}.
Cálculo do termo independente: -\tfrac{2}{15}\cdot\tfrac{5}{4}=-\tfrac{10}{60}=-\tfrac{1}{6}. Então a linha 3 fica (0,0,1,-\tfrac{1}{6}). A matriz:
Último passo do Gauss-Jordan: zerar as entradas acima do pivô da terceira coluna para que cada coluna de pivô tenha zeros em todas as outras posições.
Para zerar a entrada em (1,3) faço R_{1}\leftarrow R_{1}-1\cdot R_{3}.
Para zerar a entrada em (2,3) faço R_{2}\leftarrow R_{2}-\tfrac{1}{2}R_{3}.
Calculemos:
R_{1}-R_{3}=(1,0,1,-\tfrac{1}{2})-(0,0,1,-\tfrac{1}{6})=(1,0,0,-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}).
O termo independente: -\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}=-\tfrac{1}{3}. Então R_{1}=(1,0,0,-\tfrac{1}{3}).
R_{2}-\tfrac{1}{2}R_{3}=(0,1,\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{4})-\tfrac{1}{2}(0,0,1,-\tfrac{1}{6})=(0,1,0,\tfrac{5}{4}+\tfrac{1}{12}).
O termo independente: \tfrac{5}{4}+\tfrac{1}{12}=\tfrac{15}{12}+\tfrac{1}{12}=\tfrac{16}{12}=\tfrac{4}{3}. Então R_{2}=(0,1,0,\tfrac{4}{3}).