Problema 2. Sejam
\vec{u}=(2,-1,3), \quad \vec{v}=(-4,2,1), \quad \vec{w}=(1,0,-2)
Calcule:
2 \vec{u}-\vec{v};

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{u}=(2,-1,3),\qquad \vec{v}=(-4,2,1),\qquad \vec{w}=(1,0,-2)
E pede para calcular:
2\vec{u}-\vec{v}.
Aqui só será usada \vec{u} e \vec{v}. Vamos listar claramente o que temos de relevante:
  • Componente x de \vec{u} é 2.
  • Componente y de \vec{u} é -1.
  • Componente z de \vec{u} é 3.
  • Componente x de \vec{v} é -4.
  • Componente y de \vec{v} é 2.
  • Componente z de \vec{v} é 1.

Passo 2

Relembrando o conceito de multiplicação de um vetor por escalar (aula rápida e prática):
  • Se \lambda é um número real e \vec{a}=(a_1,a_2,a_3), então
\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\;\lambda a_2,\;\lambda a_3).
Ou seja, multiplica-se cada componente do vetor pelo escalar. Isso é tudo — nada de mistério, só aplicar em cada coordenada.

Passo 3

Relembrando a subtração de vetores:
  • Se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,\;a_2-b_2,\;a_3-b_3).
A operação é componente a componente. No exame, faça as contas em cada coordenada separadamente para evitar erro.

Passo 4

Calcular primeiro 2\vec{u} aplicando a regra do Passo 2:
2\vec{u}=2\cdot(2,-1,3)=(2\cdot2,\;2\cdot(-1),\;2\cdot3).
Fazendo as multiplicações:
2\vec{u}=(4,\,-2,\;6).

Passo 5

Agora aplicar a subtração componente a componente segundo o Passo 3:
2\vec{u}-\vec{v}=(4,\,-2,\;6)-(-4,\,2,\,1).
Calcular cada componente:
  • Componente x: 4-(-4)=4+4=8.
  • Componente y: -2-2=-4.
  • Componente z: 6-1=5.

Passo 6

Portanto as componentes resultantes são 8, -4 e 5. (Dica rápida para a prova: faça sempre em três linhas — escala, depois subtração componente a componente — assim evita sinais trocados.)

Resposta

\,2\vec{u}-\vec{v}=(8,-4,5)

Exercícios relacionados