Vou usar a expansão por cofatores (expansão de Laplace). A ideia é escolher uma linha ou coluna que torne a conta mais simples. Observando a terceira coluna de A,
tem dois zeros (nas linhas 3 e 4), então expandir por essa coluna simplifica muito: só há contribuições das entradas das linhas 1 e 2. Expansão por coluna diz que
\det(A)=\sum_{i=1}^{4} a_{i3}\,C_{i3},
onde a_{i3} é o elemento da linha i coluna 3 e C_{i3}=(-1)^{i+3}\det(M_{i3}) é o cofator: M_{i3} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna 3.]
Passo 3
Escrevendo só os termos não nulos da expansão pela coluna 3 (já que a_{33}=a_{43}=0):
\det(A)=a_{13}C_{13}+a_{23}C_{23}.
Os elementos são a_{13}=-3 e a_{23}=3. Os sinais dos cofatores são