(1,5 Pontos) Calcule o determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & 3 & -3 & 5 \\ 2 & 2 & 3 & -2 \\ 4 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 10 & 0 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e pede o determinante de A. A matriz é
A=\begin{bmatrix} 3 & 3 & -3 & 5 \\\\ 2 & 2 & 3 & -2 \\\\ 4 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 10 & 0 & 2 \end{bmatrix}.
O objetivo é calcular \det(A).

Passo 2

Vou usar a expansão por cofatores (expansão de Laplace). A ideia é escolher uma linha ou coluna que torne a conta mais simples. Observando a terceira coluna de A,
\text{terceira coluna}=\begin{bmatrix}-3\\[4pt]3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix},
tem dois zeros (nas linhas 3 e 4), então expandir por essa coluna simplifica muito: só há contribuições das entradas das linhas 1 e 2. Expansão por coluna diz que
\det(A)=\sum_{i=1}^{4} a_{i3}\,C_{i3},
onde a_{i3} é o elemento da linha i coluna 3 e C_{i3}=(-1)^{i+3}\det(M_{i3}) é o cofator: M_{i3} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna 3.]

Passo 3

Escrevendo só os termos não nulos da expansão pela coluna 3 (já que a_{33}=a_{43}=0):
\det(A)=a_{13}C_{13}+a_{23}C_{23}.
Os elementos são a_{13}=-3 e a_{23}=3. Os sinais dos cofatores são
C_{13}=(-1)^{1+3}\det(M_{13})=+\,\det(M_{13}), \qquad C_{23}=(-1)^{2+3}\det(M_{23})=-\,\det(M_{23}).
Portanto
\det(A)=-3\det(M_{13})-3\det(M_{23})=-3\bigl(\det(M_{13})+\det(M_{23})\bigr).

Passo 4

Agora construir M_{13}: é a matriz 3\times3 obtida eliminando a linha 1 e a coluna 3 de A. Assim
M_{13}=\begin{bmatrix} 2 & 2 & -2\\[4pt] 4 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 10 & 2 \end{bmatrix},
onde cada linha vem respectivamente das linhas 2,3,4 de A e as colunas são as colunas 1,2,4 de A.]

Passo 5

Calcular \det(M_{13}). Para uma matriz 3\times3
\begin{bmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{bmatrix}
a fórmula é
\det=\;a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aqui, identificando
a=2,\; b=2,\; c=-2,\; d=4,\; e=1,\; f=0,\; g=2,\; h=10,\; i=2,
calculamos os termos intermediários:
ei-fh = 1\cdot2 - 0\cdot10 = 2,
di-fg = 4\cdot2 - 0\cdot2 = 8,
dh-eg = 4\cdot10 - 1\cdot2 = 40-2 = 38.
Agora a fórmula:
\det(M_{13}) = 2\cdot2 - 2\cdot8 + (-2)\cdot38 = 4 -16 -76 = -88.]

Passo 6

Construir M_{23}: é a matriz 3\times3 obtida eliminando a linha 2 e a coluna 3 de A. Assim
M_{23}=\begin{bmatrix} 3 & 3 & 5\\[4pt] 4 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 10 & 2 \end{bmatrix},
com linhas originadas das linhas 1,3,4 de A e colunas 1,2,4 de A.]

Passo 7

Calcular \det(M_{23}) usando a mesma fórmula para 3\times3. Identificando
a=3,\; b=3,\; c=5,\; d=4,\; e=1,\; f=0,\; g=2,\; h=10,\; i=2,
os termos intermediários são (note que são numéricos iguais aos do passo anterior em partes):
ei-fh = 1\cdot2 - 0\cdot10 = 2,
di-fg = 4\cdot2 - 0\cdot2 = 8,
dh-eg = 4\cdot10 - 1\cdot2 = 40-2 = 38.
Aplicando a fórmula:
\det(M_{23}) = 3\cdot2 - 3\cdot8 + 5\cdot38 = 6 -24 +190 = 172.

Passo 8

Agora combinar os resultados em \det(A)=-3\bigl(\det(M_{13})+\det(M_{23})\bigr). Substituindo
\det(A)=-3\bigl(-88 + 172\bigr)=-3\cdot 84 = -252.

Resposta

-252

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