Calcular a integral:
integral 4 t(2-3 t^2)^6 d t

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral
integral 4 t(2-3 t^2)^6 , dt
O conteúdo aqui é integração por substituição, e vamos precisar escolher uma boa u que simplifique esse denominador.

Passo 2

A ideia é fazer a substituição u = 2 - 3 t^2. Para isso, vamos derivar u em relação a t e achar du.
du = ddt(2 - 3 t^2) , dt = -6 t , dt

Passo 3

A partir disso, a gente vê que t , dt = -tfrac16 du. Logo, 4 t , dt = 4 cdot l(t , dtr) = -tfrac46 du = -tfrac23 du.

Passo 4

Agora, substituindo tudo na integral original, a gente tem
integral 4 t(2-3t^2)^6 , dt = integral u^-6 cdot l(-tfrac23 dur) = -tfrac23 integral u^-6 , du

Passo 5

Pra integrar u^-6, usamos a regra integral u^n , du = u^n+1n+1 (desde que n neq -1). Então:
integral u^-6 , du = u^-5-5 = -tfrac15 u^-5

Passo 6

Substituindo isso, fica
-tfrac23 integral u^-6 , du = -tfrac23 cdot l(-tfrac15 u^-5r) = tfrac215 u^-5 + C

Passo 7

Por fim, voltando pra t, lembrando que u = 2 - 3 t^2, a resposta final é
215 (2 - 3 t^2)^-5 + C

Resposta

215(2 - 3 t^2)^-5 + C

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