1. O problema de determinar uma função f:[0, a] R cujo gráfico tem comprimento igual a área entre ele e o eixo O x, no intervalo [0, t], para todo 0 <= t <= a, produz a seguinte equação diferencial: raiz1+(y^prime)^2=y. Encontre a solução do problema tal que y(0)=54.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
raiz1+l(y'(t)r)^2 = y(t)
com condição inicial y(0)=tfrac54. Trata-se de um problema de valor inicial para uma curva cujo comprimento infinitesimal coincide com a área infinitesimal sob o gráfico.

Passo 2

Elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
1 + l(y'r)^2 = y^2 Longrightarrow l(y'r)^2 = y^2 - 1
Escolhemos a hipótese de ramo positivo y' = raizy^2-1 para obter uma função crescente.

Passo 3

Separamos variáveis:
dyraizy^2-1 = dt
e integramos ambos os lados:
integral dyraizy^2-1 = integral dt Longrightarrow arcosh(y) = t + C

Passo 4

Isolamos y:
y = cosh!l(t + Cr)
Aplicando y(0)=tfrac54
cosh(C)=54 Longrightarrow C = arcosh!l(tfrac54r)
Logo a solução é
y(t) = cosh!l(t + arcosh!l(tfrac54r)r),
que, usando identidades de hiperbólicas, equivale a
y(t) = 54cosh t + 34sinh t

Resposta

y(t) = cosh!l(t + arcosh!l(tfrac54r)r) ou y(t) = 54cosh t + 34sinh t

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