- O problema de determinar uma função
cujo gráfico tem comprimento igual a área entre ele e o eixo
, no intervalo
, para todo
, produz a seguinte equação diferencial:
. Encontre a solução do problema tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com condição inicial
. Trata-se de um problema de valor inicial para uma curva cujo comprimento infinitesimal coincide com a área infinitesimal sob o gráfico.
Passo 2
Elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Escolhemos a hipótese de ramo positivo
para obter uma função crescente.
Passo 3
Separamos variáveis:
e integramos ambos os lados:
Passo 4
Isolamos
:
Aplicando
dá
Logo a solução é
que, usando identidades de hiperbólicas, equivale a